Eine rigorose Behandlung von Verteilungen in der Quantenmechanik

In vielen Einführungskursen in die Quantenmechanik sehen wir δ -funktioniert überall. Zum Beispiel beim Ausdrücken einer beliebigen Wellenfunktion ψ ( X ) in der Basis von Eigenfunktionen des Ortsoperators X ^ als

ψ ( X ) = ∫ D ξ δ ( X − ξ ) ψ ( ξ ) .
In der Bra-Ket-Notation entspricht dies
| ψ ⟩ = ∫ D ξ | ξ ⟩ ⟨ ξ | ψ ⟩ ,
Wo | ξ ⟩ ist der der Wellenfunktion entsprechende Zustand X ↦ δ ( X − ξ ) . Jetzt die δ -Funktion ist wirklich keine Funktion, sondern eine Verteilung, die dadurch definiert wird, wie sie auf Testfunktionen wirkt, dh δ [ φ ] = φ ( 0 ) .

Kennen Sie einen einführenden Text zur Quantenmechanik, der diesen Punkt betont und die Sprache der Verteilungen richtig verwendet und alle Funktionen mit scheinbar unendlichen Spitzen vermeidet?

Messiahs Buch behandelt den Formalismus mit Strenge, ist aber etwas alt und ausführlich.

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Vielleicht fangen Sie am falschen Ende an. Ihre Sorge scheint im ersten Term mit der völlig irreführenden Notation von Integralen in der Quantenmechanik zusammenzuhängen, und dies hat mehr mit dem Spektralsatz zu tun als mit Verteilungen selbst. Verteilungen treten in der Quantenmechanik nur auf, wenn bestimmte Operatoren im üblichen Hilber-Raum ein leeres Spektrum haben. Dann müssen Sie einen größeren zugrunde liegenden Raum in Betracht ziehen.

Für die integrale Notation und Interpretation sollte man also mit einem rein mathematischen Buch wie Walter Rudin „Funktionsanalyse“ beginnen. Hier gibt es nichts mit Physik zu tun, da diese "Projektionsmaßintegrale" zur Welt der reinen Mathematik und des Spektraltheorems gehören. Dies ist ein absolut rigoroses reines Mathematikbuch, also seien Sie mit einem starken Willen ausgestattet, sich von Anfang bis Ende einzulesen,

Sobald Sie den mathematischen Hintergrund haben und sich mit den Integralen der Quantenmechanik (die nichts weiter als ein Spektralthorem sind) vollkommen wohl fühlen, können Sie sich den Verteilungen in der Quantenmechanik zuwenden, die im Zusammenhang mit Gelfand-Tripletts entwickelt werden. Eine hervorragende Referenz ist „The role of the rigged Hilbert space in Quantum Mechanics“ von Rafael de la Madrid. Es ist im Web frei verfügbar.

Lassen Sie mich wissen, ob dies Ihre Frage beantwortet.

Vielen Dank! Das Papier von Rafael de la Madrid ist genau die Art von Erklärung, nach der ich gesucht habe.

Brian Hall „Quantum Theory for Mathematicians“ ist ein neues nettes Buch , das die Grundlagen der QM mit mathematischer Strenge präsentiert, wie der Titel vermuten lässt. Es deckt eine ganze Reihe von Themen ab und scheint für ein Grundstudium geeignet zu sein. Das kurze Buch von Mackey "Mathematical Foundations of Quantum Mechanics" ist ebenfalls ein sehr schönes Buch über die Axiomatisierung von QM, kann aber für einen Studenten im Grundstudium schwierig sein.

Zu meiner Enttäuschung ist alles, was Halls Buch über Distributionen zu sagen hat, ein 2-seitiger Anhang mit Definitionen.
Dies liegt wahrscheinlich daran, dass Sie Distributionen nicht so sehr benötigen, um grundlegendes QM auf rigorose Weise durchzuführen ;-). Wenn Sie sich jedoch den Eintrag "verallgemeinerter Eigenvektor" im Index ansehen, finden Sie einige Hinweise darauf δ Zustände der Physiker (siehe Seite 124 und insbesondere Abschnitt 6.6)
Eine rigorose Behandlung von Verteilungen in der Quantenmechanik
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