Gibt es eine intuitive Beschreibung der Vakuumverschränkung?

Wenn Sie einen harmonischen Oszillator in x haben, ist die Grundzustandswellenfunktion eine Gaußsche Funktion;

$$H = {p^2\over 2} + {\omega^2 x^2\over 2}$$

$$\psi_0(x) = e^{ - {\omega x^2\over 2}}$$

Wenn Sie zwei unabhängige Oszillatoren x,y;

$$H = {p_x^2\over 2} + {p_y^2\over 2} + {\omega_1^2 x^2\over 2} + {\omega_2^2 y^2\over 2}$$

Der Grundzustand ist ein Produkt:

$$\psi_0(x,y) = e^{-{\omega_1 x^2\over 2}} e^{-{\omega_2 y^2\over 2}}$$

Es gibt also keine Verschränkung im Grundzustand zwischen x und y. Aber wenn Sie es rotierend betrachten (und$\omega_1 \ne \omega_2$), liegt eine Verstrickung vor.

Für ein skalares Quantenfeld in einem räumlichen Gitter in endlichem Volumen (die Zeit ist immer noch kontinuierlich) haben Sie (wenn Sie eine Fourier-Transformation im Raum durchführen) eine Reihe entkoppelter harmonischer Oszillatoren (die Summe von k liegt über nicht redundanten k für einen echten Skalar Feld, das ist die Hälfte des vollen Platzes$k_x>0$):

$$H = \sum_k {1\over 2} \dot{\phi_k}^2 + {k^2+m^2\over 2} \phi^2$$

Das ist ein Haufen entkoppelter Oszillatoren, also der Grundzustand;

$$\psi_0(\phi_k) = \prod_k e^{-{\sqrt{k^2+m^2} |\phi_k|^2\over 2}}$$

Das ist nicht verstrickt in Bezug auf$\phi_k$, aber in Bezug auf die$\phi_x$(auf dem Gitter), es ist verheddert. Die Gaußsche Vakuumwellenfunktion kann hier ausgedrückt werden als:

$$\psi_0(\phi) = e^{-\int_{x,y} \phi(x) J(x-y) \phi(y)}$$

Wo$J(x-y) = {1\over 2} \sqrt{\nabla^2 + m^2}$ist nicht der Propagator, sondern dieser seltsame nichtlokale Quadratwurzeloperator.

Das Vakuum für bosonische Feldtheorien ist eine statistische Verteilung, es ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Wahrscheinlichkeit ist, eine Feldkonfiguration zu finden$\phi$in einer Monte-Carlo-Simulation zu einem beliebigen imaginären Zeitabschnitt in einer Simulation (wenn Sie die t-Koordinate lang machen). Dies ist eine Interpretation der Tatsache, dass es real und positiv ist. Die Korrelationen in dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung sind die Vakuumkorrelationen und für freie Felder einfach zu berechnen.

Das axiomatische Feldtheorie-Material ist meiner Meinung nach nicht lesenswert. Es ist verwirrend und verrät die Unkenntnis der grundlegenden Ideen des Feldes, einschließlich Monte Carlo und Pfad-Integral.

Allgemeine Vakuumwellenfunktion für bosonische Felder

In jedem Pfadintegral für bosonische Felder mit realer Aktion (PT-Invariantentheorie), und dazu gehören die reine Yang-Mills-Theorie und Theorien mit herausintegrierten Fermionen, ist die Vakuumwellenfunktion genau dasselbe wie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Feldwerte in der euklidischen Zeit Formulierung der Theorie. Dies gilt außerhalb der Störungstheorie und macht es völlig lächerlich, dass die strenge mathematische Theorie nicht existiert. Der Grund dafür ist, dass die Grenzen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf Feldern, wenn das Gitter feiner wird, in der Maßtheorie lästig zu definieren sind, da sie zu Maßen für Verteilungen werden.

Um dies zu sehen, beachten Sie, dass bei t = 0 weder die imaginäre Zeit noch die Echtzeittheorie irgendwelche Zeitentwicklungsfaktoren haben, also sind sie äquivalent. In einer unbegrenzten imaginären Box in der Zeit sind die erwarteten Werte in der euklidischen Theorie in einer Zeitscheibe also gleich den gleichen Zeitvakuum-Erwartungswerten in den Lorentzschen Theorien.

Dies gibt Ihnen eine Monte-Carlo-Definition der Vakuumwellenfunktion jeder PT-invarianten bosonischen Feldtheorie, frei oder nicht. Dies ist die wichtigste Erkenntnis zu Grundzuständen von Feynman, die in den 1950er Jahren explizit im Pfadintegral und in der Arbeit zum Grundzustand von flüssigem He4 beschrieben wurde (dies ist auch ein bosonisches System, daher ist der Grundzustand eine Wahrscheinlichkeitsverteilung). Es wird verwendet, um das 2+1 Yang-Mills-Vakuum im Jahr 1981 von Feynman (seinem letzten veröffentlichten Artikel) zu beschreiben, und diese Arbeit wird erweitert, um die Saitenspannung von Karbali und Nair vor etwa einem Jahrzehnt zu berechnen.

Um auf die Frage „Gibt es eine intuitive Beschreibung der Vakuumverschränkung? -Produkt lokaler Hilberträume:$\cal{H}_{tot}=\otimes_i \cal{H}_i$. (Zum Beispiel in einem Gittermodell$\cal{H}_i$kann der Hilbertraum vor Ort sein-$i$.) Eine solche Direktproduktstruktur kann als UV-Vervollständigung einer Quantenfeldtheorie angesehen werden. Um die Vakuumverschränkung zu diskutieren, müssen wir daher davon ausgehen, dass der gesamte Hilbert-Raum unseres Universums die Struktur hat$\cal{H}_{tot}=\otimes_i \cal{H}_i$. Die folgende Diskussion basiert auf einer solchen Annahme, bei der das "Vakuum" einfach der Grundzustandsvektor im gesamten Hilbert-Raum ist$\cal{H}_{tot}$.

Die Grundzustände fast aller Hamiltonoperatoren sind verschränkt (da diese Grundzustände im Allgemeinen keine Produktzustände sind). Das Vakuum ist also wie ein generischer Grundzustand auch ein verschränkter Zustand.

Das Vakuum unseres Universums ist jedoch sehr speziell: Unser Vakuum ist eigentlich ein langreichweitiger verschränkter Zustand , oder mit anderen Worten, ein topologisch geordneter Zustand . Dies liegt daran, dass bekannt ist, dass nur weitreichende verschränkte Zustände elektromagnetische Wellen erzeugen, die die Maxwell-Gleichung erfüllen, und Fermionen, die die Dirac-Gleichungen erfüllen (als kollektive Anregungen über dem Grundzustand). Ich habe einen Artikel geschrieben, um dies im Detail zu beschreiben. Siehe auch die PE- Frage .

Die Tatsache, dass unser Vakuum Photonen und Fermionen (als Quasiteilchen) unterstützt, impliziert also, dass unser Vakuum ein langreichweitiger verschränkter Zustand ist.

Die Folien von Summers missbrauchen die herkömmliche Terminologie (allerdings aus einem formal gerechtfertigten Grund, der weiter unten erläutert wird), wodurch Verwirrung entsteht.

Verschränkte Zustände werden durch die herkömmliche Definition (wie zB von Wikipedia angegeben) in einem Tensorprodukt mit mehr als einem Dimensionsfaktor definiert$>1$.

Andererseits ist der Vakuumzustand einer freien Theorie und jeder asymptotischen Darstellung einer interagierenden Theorie ein Zustand, der in einem Fock-Raum definiert ist, der eine direkte Summe aller Tensorprodukträume ist$H_N$Vertretung der$N$-Partikelsektor ($N=0,1,2,\dots$). Definitionsgemäß überspannt der Vakuumzustand die$0$-Teilchensektor, der ein 1-dimensionaler Raum ist und nicht Teil eines der Tensorprodukträume innerhalb des Fock-Raums.

Daher ist es sinnlos (dh nicht durch konsistente formale Definitionen gestützt), den Vakuumzustand im herkömmlichen Sinne verschränkt zu nennen.

Um die Dinge weiter zu entwirren, kann es eine gute Übung sein, die nichtrelativistische QM im zweiten Quantisierungsformalismus zu betrachten, der in der statistischen Mechanik verwendet wird. Dort ist das Obige ordentlich dargestellt und in Form gewöhnlicher Mehrteilchen-Wellenfunktionen interpretierbar, und es wird deutlich, dass Summers Anwendung des herkömmlichen Verschränkungskonzepts auf den Vakuumzustand falsch ist.

Summers führt jedoch in Folie 12 ein anderes Verschränkungskonzept ein, das an Zustände in einer Quantenfeldtheorie angepasst ist, die für den Vakuumzustand gilt. Es ist lose mit gewöhnlicher Verstrickung verbunden, da die$N=1$Sektor einer QFT wird durch 2-Punkt- Vakuumkorrelationsfunktionen dargestellt , obwohl keiner der Zustände mit$N=1$ist ein Vakuumzustand. Daher kann man in diesem Rahmen die üblichen Bell-Ungleichungen nachahmen.

Nach dieser Definition machen die Aussagen von Summers über den Vakuumzustand Sinn. Aber sie sollten nicht mit gewöhnlicher Verschränkung verwechselt werden, da sie, übersetzt in gewöhnliche QM, eher Aussagen über Paare von 1-Teilchen-Zuständen als Aussagen über das Vakuum darstellen.

Bearbeiten: Die Analogie, in der die Dinge betrachtet werden sollten, ist, dass sich das Tensorprodukt im QFT-Fall nicht auf dem Raum der Zustände befindet, sondern auf einem geeignet gewählten Raum der Operatoren. Aus diesem Grund kann die formale Glockenmaschine an diese Situation angepasst werden.

Für ein nicht-wechselwirkendes Quantenfeld ist die gesamte mathematische Struktur von rein Gaußschen VEVs, das heißt der Vakuumzustand, im 2-Punkt-VEV enthalten, was für das KG-Feld die Verteilung ist

$$\left<0\right|\hat\phi(x+y)\hat\phi(y)\left|0\right>=\frac{m\theta(x^2)}{8\pi\sqrt{x^2}}\left[Y_1(m\sqrt{x^2})+\epsilon(x_0)iJ_1(m\sqrt{x^2})\right]-\frac{\epsilon(x_0)i}{4\pi}\delta(x^2)$$ $$\hspace{7em}+\frac{m\theta(-x^2)}{4\pi^2\sqrt{-x^2}}K_1(m\sqrt{-x^2}).$$ Die zweite Zeile gibt die Korrelationsfunktion bei raumartiger Trennung an, wo gemeinsame Messungen immer möglich sind, während bei zeitartiger oder lichtartiger Trennung der Imaginärteil der ersten Zeile dazu führt, dass Messungen nicht kompatibel sind. Die Messungsinkompatibilität führt natürlich zu Problemen, denen man nicht leicht einen intuitiven Glanz verleiht, aber das Obige zeigt die Art der Korrelationen für den Freifeldfall.

Der Bessel-Funktionsterm bei raumartiger Trennung ist$\frac{1}{4\pi^2(-x^2)}$bei klein$x$, während es asymptotisch wird$\sqrt{\frac{2m}{\pi^3\sqrt{-x^2}^3}}\,\frac{\exp{\left(-m\sqrt{-x^2}\right)}}{8}$für groß$x$.

Für wechselwirkende Felder hat die 2-Punkt-Funktion immer eine vergleichbare Form, verschmiert durch eine Massendichte, die Källén-Lehmann-Darstellung , aber VEVs höherer Ordnung sind relativ nicht trivial.