Matrixdarstellung Drehimpuls

Question

Matrixdarstellung Drehimpuls

Xin Wang

Wir sollen eine Matrixdarstellung von geben $L\cdot S$ für ein Elektron mit $l=1$ Und $s=\frac{1}{2}$ .

ich lese $L\cdot S$ als $L \otimes S$ . Ist das richtig? Dann hätten wir zB für

$L\otimes S (|1,1\rangle \otimes |1/2,1/2\rangle) = L |1,1\rangle \otimes S|1/2,1/2\rangle$ $= \sqrt{2} \hbar |1,1\rangle \otimes \sqrt{\frac{3}{4}} \hbar |1/2,1/2 \rangle = \sqrt{\frac{3}{2}}\hbar^2 |1,1\rangle \otimes |1/2,1/2\rangle$ .

Ist diese Korrektur richtig? Soll ich dann mit allen anderen Basisvektoren so verfahren und die Eigenwerte diagonal in eine Matrix schreiben?

Valter Moretti

L

${\bf L}$ Und

S

${\bf S}$ sind Vektoren.

L \cdot S

${\bf L} \cdot {\bf S}$ ist ein Skalar. Was ist

L \otimes S

$L\otimes S$ ? Wenn Sie das Tensorprodukt von Operatoren verwenden möchten, ist der richtige Ausdruck

L \cdot S = \sum_{k = 1}^{3} L_{i} \otimes S_{i}

${\bf L} \cdot {\bf S} = \sum_{k=1}^3 L_i \otimes S_i$ .

Xin Wang

Sie sagen also, das sei Unsinn? Nun, wissen Sie, wie Sie eine Matrixdarstellung für erhalten

L \cdot S

$L \cdot S$ ?

Valter Moretti

Ja: Ersetzen Sie jeden Operator

L_{i}

$L_i$ Und

S_{i}

$S_i$ für die entsprechende Matrix. Nutzen Sie die Tatsache, dass

l = 1

$l=1$ Und

s = 1 / 2

$s=1/2$ diese Matrizen in Lehrbüchern zu finden.

Xin Wang

Ich verstehe das nicht. Wenn wir das sagen

J = L + S

$J=L+S$ , heißt das nicht

J = L \otimes I d + I d \otimes S

$J=L \otimes Id + Id \otimes S$ ? Ich glaube, ich habe das ganze Konzept der Addition von Drehimpulsen nicht verstanden. Wofür ist die richtige mathematische Notation?

J = L + S

$J=L+S$ ?

Emilio Pisanty

Die korrekte mathematische Notation für diese Summe ist

J = L \otimes 1_{spin} + 1_{orb} \otimes S

$\mathbf{J}=\mathbf{L}\otimes 1_\text{spin}+1_\text{orb}\otimes\mathbf{S}$ , bei dem die

1

$1$ s sind Identitätsoperatoren auf den Spin- und Orbital-Hilbert-Räumen.

Valter Moretti

J = L + S

${\bf J}= {\bf L} + {\bf S}$ bedeutet eigentlich:

J_{k} = L_{k} \otimes I_{s p i n} + I_{o r b} \otimes S_{k}

$J_k = L_k \otimes I_{spin} + I_{orb}\otimes S_k$ für

k = 1, 2, 3

$k=1,2,3$ .

Xin Wang

Danke schön. Also darf ich dieses Tensorprodukt nur für jede Komponente definieren? Aber wie hilft mir das bei der Bewertung

L \cdot S

$L \cdot S$ Ich meine, ich weiß nur was

L_{3} \otimes S_{3}

$L_3 \otimes S_3$ tut natürlich auf der kanonischen Basis in der Quantenmechanik

L_{1} \otimes S_{1}

$L_1 \otimes S_1$ und die gleichen mit Index 2 sind durch die Unschärferelation völlig unbestimmt?

Valter Moretti

Deshalb

L \cdot S = \sum_{k} (L_{k} \otimes I) (I \otimes S_{k}) = \sum_{k} L_{k} \otimes S_{k}

${\bf L}\cdot {\bf S}= \sum_k (L_k \otimes I)(I\otimes S_k) = \sum_k L_k \otimes S_k$ .

Valter Moretti

Sie sollten nur die Matrixform von explizit aufschreiben

L \cdot S

${\bf L}\cdot {\bf S}$ , so weit ich verstanden habe. Diese Matrix existiert unabhängig davon, ob es keine gemeinsamen Eigenvektoren für alle Komponenten des Spins oder Drehimpulses gibt.

Xin Wang

Ja, aber wie finde ich diese Matrix? was muss ich jetzt tun?

Valter Moretti

In Bezug auf die Spinmatrizen, wie

s = 1 / 2

$s=1/2$ , sie sind

ℏ / 2 σ_{i}

$\hbar/2 \:\:\sigma_i$ OK?

Valter Moretti

Betreffend

L_{i}

$L_i$ , da du das weißt

l = 1

$l=1$ , sind es genau dieselben Matrizen, die die Spinkomponenten eines Spinteilchens bestimmen

1

$1$ . Sie stehen in fast allen Lehrbüchern.

Valter Moretti

en.wikipedia.org/wiki/Pauli_matrices , Abschnitt Quantenmechanik die ersten drei Matrizen (dort

l = j

$l=j$ Und

L_{i} = J_{i}

$L_i=J_i$ .

JoshPhysik

Sehr eng verwandt: physical.stackexchange.com/questions/60409/…

Antworten (1)

Matrixdarstellung Drehimpuls

${\bf L}$ Und ${\bf S}$ sind Vektoren. ${\bf L} \cdot {\bf S}$ ist ein Skalar. Was ist $L\otimes S$ ? Wenn Sie das Tensorprodukt von Operatoren verwenden möchten, ist der richtige Ausdruck ${\bf L} \cdot {\bf S} = \sum_{k=1}^3 L_i \otimes S_i$ .
Sie sagen also, das sei Unsinn? Nun, wissen Sie, wie Sie eine Matrixdarstellung für erhalten $L \cdot S$ ?
Ja: Ersetzen Sie jeden Operator $L_i$ Und $S_i$ für die entsprechende Matrix. Nutzen Sie die Tatsache, dass $l=1$ Und $s=1/2$ diese Matrizen in Lehrbüchern zu finden.
Ich verstehe das nicht. Wenn wir das sagen $J=L+S$ , heißt das nicht $J=L \otimes Id + Id \otimes S$ ? Ich glaube, ich habe das ganze Konzept der Addition von Drehimpulsen nicht verstanden. Wofür ist die richtige mathematische Notation? $J=L+S$ ?
Die korrekte mathematische Notation für diese Summe ist $\mathbf{J}=\mathbf{L}\otimes 1_\text{spin}+1_\text{orb}\otimes\mathbf{S}$ , bei dem die $1$ s sind Identitätsoperatoren auf den Spin- und Orbital-Hilbert-Räumen.
${\bf J}= {\bf L} + {\bf S}$ bedeutet eigentlich: $J_k = L_k \otimes I_{spin} + I_{orb}\otimes S_k$ für $k=1,2,3$ .
Danke schön. Also darf ich dieses Tensorprodukt nur für jede Komponente definieren? Aber wie hilft mir das bei der Bewertung $L \cdot S$ Ich meine, ich weiß nur was $L_3 \otimes S_3$ tut natürlich auf der kanonischen Basis in der Quantenmechanik $L_1 \otimes S_1$ und die gleichen mit Index 2 sind durch die Unschärferelation völlig unbestimmt?
Deshalb ${\bf L}\cdot {\bf S}= \sum_k (L_k \otimes I)(I\otimes S_k) = \sum_k L_k \otimes S_k$ .
Sie sollten nur die Matrixform von explizit aufschreiben ${\bf L}\cdot {\bf S}$ , so weit ich verstanden habe. Diese Matrix existiert unabhängig davon, ob es keine gemeinsamen Eigenvektoren für alle Komponenten des Spins oder Drehimpulses gibt.
Ja, aber wie finde ich diese Matrix? was muss ich jetzt tun?
In Bezug auf die Spinmatrizen, wie $s=1/2$ , sie sind $\hbar/2 \:\:\sigma_i$ OK?
Betreffend $L_i$ , da du das weißt $l=1$ , sind es genau dieselben Matrizen, die die Spinkomponenten eines Spinteilchens bestimmen $1$ . Sie stehen in fast allen Lehrbüchern.
en.wikipedia.org/wiki/Pauli_matrices , Abschnitt Quantenmechanik die ersten drei Matrizen (dort $l=j$ Und $L_i=J_i$ .
Sehr eng verwandt: physical.stackexchange.com/questions/60409/…

Emilio Pisanty · Answer 1

Es gibt zwei Probleme, mit denen man sich auseinandersetzen muss, um solche Probleme zu lösen.

Beide Drehimpulsoperatoren sind Vektoroperatoren , nehmen also gewissermaßen Werte auf $\mathbb R^3$ ; Sie werden nach ihrem Punktprodukt gefragt, das in dieser Kopie enthalten sein sollte $\mathbb R^3$ . Sie hätten das gleiche Problem, wenn Sie gebeten würden, das Skalarprodukt zu berechnen $\mathbf r\cdot\mathbf p$ für ein einzelnes Teilchen ohne Spin.
Die Orbital- und Spin-Drehimpulsoperatoren wirken auf die zwei verschiedenen Faktoren eines Tensorprodukts von Hilbet-Räumen. Daher sollte jedes (Operator-)Produkt eines skalaren Orbitaloperators mit einem skalaren Spinoperator als Tensorprodukt interpretiert werden. Sie hätten das gleiche Problem, wenn Sie aufgefordert würden, das Produkt zu berechnen $L^2S^2$ , was zu interpretieren wäre $L^2\otimes S^2$ .

In Ihrem Fall müssen Sie also lesen $L\cdot S$ als

L \cdot S = \sum_{ich = 1}^{3} L_{ich} S_{ich} = \sum_{ich = 1}^{3} L_{ich} \otimes S_{ich} .

$\mathbf{L}\cdot \mathbf{S}=\sum_{i=1}^3L_iS_i=\sum_{i=1}^3L_i\otimes S_i.$ Um die Matrixdarstellung davon zu berechnen, sollten Sie mit der jeweiligen Matrixdarstellung beginnen

L_{i}

$L_i$ Und

S_{i}

$S_i$ . Anschließend berechnen Sie die Tensorproduktmatrizen

L_{i} \otimes S_{i}

$L_i\otimes S_i$ . Schließlich addieren Sie alle diese Matrizen zusammen, um das Endergebnis zu erhalten.

Anhand eines Beispiels wird das alles viel klarer. Der $z$ Komponente ist beispielsweise einfach, da jede Matrix durch gegeben ist

L_{z} = ℏ (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix}) Und S_{z} = \frac{ℏ}{2} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}),

$L_z=\hbar\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix} \quad\text{and}\quad S_z=\frac\hbar 2 \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},$ in den Basen

{| 1 ⟩, | 0 ⟩, | - 1 ⟩}

$\{|1\rangle,|0\rangle,|-1\rangle\}$ Und

{| \frac{1}{2} ⟩, | - \frac{1}{2} ⟩}

$\{|\tfrac12\rangle,|-\tfrac12\rangle\}$ bzw. Die Tensorproduktmatrix also in der Basis

{| 1 ⟩ \otimes | \frac{1}{2} ⟩, | 0 ⟩ \otimes | \frac{1}{2} ⟩, | - 1 ⟩ \otimes | \frac{1}{2} ⟩, | 1 ⟩ \otimes | - \frac{1}{2} ⟩, | 0 ⟩ \otimes | - \frac{1}{2} ⟩, | - 1 ⟩ \otimes | - \frac{1}{2} ⟩}

$\{|1\rangle\otimes|\tfrac12\rangle ,|0\rangle\otimes|\tfrac12\rangle ,|-1\rangle\otimes|\tfrac12\rangle , |1\rangle\otimes|-\tfrac12\rangle ,|0\rangle\otimes|-\tfrac12\rangle ,|-1\rangle\otimes|-\tfrac12\rangle \}$ , ist gegeben durch

L_{z} \otimes S_{z} = \frac{ℏ^{2}}{2} (\begin{matrix} 1 (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix}) & 0 (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix}) \\ 0 (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix}) & - 1 (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix}) \end{matrix}) = \frac{ℏ^{2}}{2} (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) .

$L_z\otimes S_z=\frac{\hbar^2} 2 \begin{pmatrix} 1\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix} & 0\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix} \\ 0\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix} & -1\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix} \end{pmatrix} =\frac{\hbar^2} 2 \begin{pmatrix} 1&0&0& 0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&-1&0&0&0\\ 0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0& 0&0&0&1 \end{pmatrix}.$ Dieser Vorgang sollte mit beiden wiederholt werden

x

$x$ und das

y

$y$ Komponenten. Jede davon ergibt eine 6-mal-6-Matrix (in diesem Fall). Um Ihre endgültige Antwort zu erhalten, sollten Sie alle drei Matrizen addieren.

Matrixdarstellung Drehimpuls

Xin Wang

Valter Moretti

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Emilio Pisanty

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JoshPhysik

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Emilio Pisanty

Wie ist die Parität für die Bestimmung des Drehimpulses relevant?

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Wie kann man beweisen, dass die Quadrate der Erwartungswerte der drei Komponenten des Spins sich zu 1 summieren?

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