Unterschied zwischen Hamiltonian in der klassischen Mechanik und in der Quantenmechanik

Ihre Frage ist falsch formuliert, beginnend mit Ihrem 3. Punkt:

Mathematisch ist der Hamiltonoperator in CM nur eine Funktion von q,p-Variablen, aber in der Quantenmechanik ist er ein hermitescher Operator

Dies ist eine der am weitesten verbreiteten Unwahrheiten in der Branche, die mit der besonderen besonderen Entwicklung des Fachgebiets verbunden ist. Tatsächlich lässt sich die Quantenmechanik perfekt im Phasenraum und die klassische Mechanik im Hilbert-Raum beschreiben . Der Grund ist die Existenz der invertierbaren Wigner-Weyl-Abbildung, die den Phasenraum und den Hilbert-Raum in vollständiger und praktischer Äquivalenz überbrückt.

Dies vermeidet dann den falschen Kontrast Ihres ersten Punktes:

In der klassischen Physik bestimmt der Hamiltonoperator kanonische Variablen, aber in der QM bestimmt der Hamiltonoperator nur eine Größe, ψ .

Irreführend. In beiden Fällen macht der Hamiltonian die gleiche Arbeit. Die klassische Liouville-Evolutionsgleichung (für die deterministische Trajektorien durch δ-Funktions-Liouville-Dichten definiert werden können) kann in QM um die deterministische Moyal-Gleichung erweitert werden (die die Funktion der Schrödinger-Gleichung erfüllt), die stattdessen die Entwicklung einer Wigner-Quasibrobabilitätsverteilung beschreibt . Da diese Formulierung automatisch die Unschärferelation kodiert, ist eine vollständige δ-Funktionslokalisierung im Phasenraum unmöglich, und somit existieren Trajektorien streng genommen nicht, und das Wahrscheinlichkeitsfluid diffundiert.

Dies entkräftet jedoch nicht ganz Ihren zweiten Punkt, der für sich genommen faktisch falsch ist:

Die klassische Bewegung wird durch kanonische Gleichungen (Prinzip der kleinsten Wirkung) bestimmt, während der QM-Hamiltonoperator so konstruiert ist, dass er die Schrödinger-Gleichung erfüllt (er wird nicht aus dem Prinzip der kleinsten Wirkung abgeleitet).

In der Tat folgen Liouvilles Gleichungen direkt aus den kanonischen Bewegungsgleichungen, die sich aus einem aktionsextremisierenden Prinzip ergeben, das nach der Einsicht von Dirac von 1933 , S. 69, jetzt als klassische Grenze der QM verstanden wird und in Feynmans Pfadintegralformulierung, dem berühmten kleinen, kodifiziert ist$\hbar$Grenze.

Seltsamerweise und ziemlich beunruhigend kann Schrödingers Gleichung auch aus einer bekannten Extremisierung von abgeleitet werden$\int dt dx ~\psi^*(x,t) (i\hbar \partial_t -H) \psi(x,t)$, obwohl es sich nicht um eine solche destruktive Interferenzgrenze handelt! (?) Ich habe lange darüber nachgedacht und bin möglicherweise zu Unrecht zu dem Schluss gekommen, dass es sich um einen "Zufall" handelt, nämlich um die triviale Tatsache, dass jede lineare Gleichung auf das Extremum hinausläuft einer quadratischen hermiteschen Form. Aber ich kann mir wirklich nicht sicher sein. Kanst du?

$\bullet$Die Wellenfunktion enthält Informationen über Position und Impuls, also haben Sie in gewisser Weise Recht. Aber es ist nicht besonders nützlich, Mengen so zu zählen, wie Sie es hier tun: Schreiben$X_\Psi:=(q,p),\ \nabla:=(\tfrac{\partial}{\partial q},\tfrac{\partial}{\partial p})$Und$\omega:=\begin{pmatrix} 0&1\\ -1&0 \end{pmatrix}$. Jetzt ist Ihre klassische Gleichung$\dot X_\Psi=\omega \nabla H$, Wo$H$und damit auch der Vektor$\omega \nabla H$ist eine Funktion von$X_\Psi$, und das ist auch nur eine Gleichung für eine Größe.

$\bullet$Ja, die Wellenfunktion wird als gewichtete Abweichung für das Wirkungsprinzip für klassische Punktteilchen angesehen. Aber für die Ein-Teilchen-Wellenfunktion ist die Schrödinger-Gleichung nur eine Feldgleichung und diese hat auch eine Lagrange-Funktion,$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi^{*}} - \left(\frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\frac{\partial \psi^{*}}{\partial t}} + \sum_{j=1}^3 \frac{\partial}{\partial x_j} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\frac{\partial \psi^{*}}{\partial x_j}}\right) = 0$mit$\mathcal{L}\left(\psi, \mathbf{\nabla}\psi, \dot{\psi}\right) := \mathrm i\hbar\, \frac{1}{2} (\psi^{*}\dot{\psi}-\dot{\psi^{*}}\psi) - \frac{\hbar^2}{2m} \mathbf{\nabla}\psi^{*} \mathbf{\nabla}\psi - V( \mathbf{r},t)\,\psi^{*}\psi$.

$\bullet$Das sind die Definitionen, richtig. Aber beide bieten beides, eine Energiefunktion und einen Operator, der eine Zeitentwicklung erzeugt. Die Funktion für den hermiteschen Operator bildet ab$\psi$Zu$\left\langle\phi\right|H\left|\phi\right\rangle$, siehe hier , und die obigen Gleichungen liefern einen Fluss, der jeweils einen Zustand abbildet$t_i$zu einem Zustand zu einer Zeit$t_f$.