Warum wächst ΔxΔpxΔxΔpx\Delta x \Delta p_x für stationäre Zustände linear mit nnn?

Ich habe eine heuristische Begründung, aber keinen Beweis.

Man kann einzelne Quantenzustände mit unsicherem Ort und Impuls als Verteilung über den Phasenraum betrachten . Semiklassisch belegt jeder Quantenzustand einen Bereich$h$dieses Raumes, wie hier begründet . Diese Tatsache wird häufig in der statistischen Mechanik verwendet und entspricht im Grunde der WKB-Näherung.

Wenn also die semiklassische Grenze gilt, die erste$n$Erregte Zustände müssen sich kumulativ überdecken$nh$des Phasenraums. In den in der Frage beschriebenen symmetrischen Fällen "sitzt" der Phasenraum jedes Zustands auf den vorherigen Zuständen, so dass die$n^{th}$Staat hat$nh$Phasenraum selbst, dh

$$\Delta x_n \Delta p_n \approx nh$$ wie in den obigen Beispielen zu sehen. Allgemein sollten wir also dieses lineare Verhalten erwarten. Es tritt immer dann auf, wenn die Phasenraumverteilungen einfach als Funktion von skaliert werden $n$.

Dies geschieht jedoch nur bei hinreichend „schönen“ Potentialen. Man kann Gegenbeispiele finden, die die Ungleichung aufgrund einer modifizierten Phasenraumskalierung verletzen, wie in Emilio Pisantys Antwort gezeigt .

Ich denke, knzhou hat mit ihrer Antwort in Bezug auf den Hauptgrund dafür, dass dies der Fall ist, Recht. Die meisten dieser Systeme werden in der WKB-Region untersucht , was als Faustregel bedeutet, dass das Erhöhen um einen Energie-Eigenzustand bedeutet, dass der zugängliche Phasenraumbereich des Zustands nach oben geht$\hbar$. Die zweite Hälfte des Arguments ist, dass für die ausgestellten einfachen Systeme die Form des zugänglichen Phasenraumbereichs größtenteils unabhängig von der Größe des Bereichs ist oder auf ziemlich vorhersehbare Weise durch einfaches Skalieren auf einen oder beide wächst Achsen. Diese Skalierung wirkt sich auch aus$\Delta x$Und$\Delta p$, und zwar so, dass ihr Produkt$\Delta x\,\Delta p$steigt auch um$\hbar$.

Diese Einsicht weist auch den Weg, Systeme zu finden, die dieser Heuristik nicht gehorchen, bei denen sich die Form der Phasenraumkurve mit der Energie ändert, und insbesondere bei denen der Bruch

$$\frac{\text{volume of phase space at energy }E\leq E_n}{\text{volume of phase-space square box that contains said volume}}$$ ändert sich in Abhängigkeit von $E_n$.

Um ein solches System zu bekommen, suchte ich nach Systemen, deren zugängliche Regionen „Spitzen“ entwickeln, wenn die Energie ansteigt, und das einfachste, was ich mir vorstellen konnte, waren Systeme dieser Form

$$H=(p-x^3)^2.$$

Daran muss ein wenig herumgefummelt werden, damit es funktioniert - am Ende habe ich es verwendet$H=p^2-px+x^6$- und in Abhängigkeit von$p$Und$x$, dieser Hamiltonoperator sieht aus wie die Art von asymmetrischer Schale, die wir zu erstellen versuchen:

Dieser Hamiltonoperator in seiner Quantenform$\hat H=\hat p^2-\frac12(\hat p\hat x+\hat x\hat p) + \hat x^6$, ist wahrscheinlich für irgendeine Form der analytischen Behandlung zugänglich, aber der einfachste Weg ist, einfach ein paar Zahlen herumzuspielen, um ein Gefühl für die Struktur zu bekommen. In Mathematica sieht das ungefähr so ​​aus

J = 1000; L = 10.; dx = (2 L)/(2 J);
T=-1/2(DiagonalMatrix[Table[1, {2 J}], 1]+DiagonalMatrix[Table[1, {2 J}], -1] - 
    DiagonalMatrix[Table[2, {2 J + 1}]])/dx^2;
P=-I(DiagonalMatrix[Table[1, {2 J}], 1]-DiagonalMatrix[Table[1, {2 J}], -1])/dx;
X = DiagonalMatrix[Table[j dx, {j, -J, J}]];

und dann

SortBy[Eigensystem[2 T - (X^3.P + P.X^3)/2 + X^6]\[Transpose], First]\[Transpose]

Das Spektrum sieht in etwa so aus

mit Eigenfunktionen, die für die ersten 20 so aussehen,

und so für die Eigenfunktionen 280-300,

(was anfängt, ein bisschen zerlumpt auszusehen, aber immer noch ziemlich gut aufgelöste Oszillationen hat). Dies führt uns dann zum Unsicherheitsprodukt$\Delta x\,\Delta p$, berechnet als

Table[
 Chop[Sqrt[v\[Conjugate].X.X.v] Sqrt[v\[Conjugate].P.P.v]]
 , {v, vecs[[1 ;; 300]]}
 ]

das sieht so aus:

Und das scheint schließlich kein lineares Verhalten zu haben. Es gibt sicherlich noch mehr zu untersuchen, aber die Gesamtantwort scheint negativ zu sein.