Was ist falsch an dieser Herleitung, dass iℏ=0iℏ=0i\hbar = 0?

Sowohl p- als auch x-Operatoren haben als Operatoren keine Eigenvektoren im eigentlichen Sinne. Sie haben Verteilungseigenvektoren, die nur in einem größeren Raum von Funktionen definiert sind als der Raum quadratisch normierbarer Wellenfunktionen, und die nur dann als sinnvoll angesehen werden sollten, wenn sie durch eine glatte Testfunktion ein wenig verschmiert werden.

Die Normierung für$\langle \psi_p | \psi_p \rangle$ist unendlich, weil sich die p-Welle über den ganzen Raum ausdehnt. In ähnlicher Weise ist die Normalisierung der Delta-Funktions-Wellenfunktion, des x-Operator-Eigenvektors, unendlich, da das Quadrat einer Delta-Funktion ein unendliches Integral hat.

Sie könnten Ihr Paradoxon mit angeben$|x\rangle$sagt auch:

$$i\hbar \langle x|x\rangle = \langle x| (\hat{x}\hat{p} - \hat{p}\hat{x})|x\rangle = x \langle x|\hat{p}|x\rangle - \langle x|\hat{p}|x\rangle x = 0$$

Weil$|x'\rangle$nur definiert ist, wenn es ein wenig verschmiert ist, müssen Sie eine separate Variable für die beiden Vorkommen von x' verwenden. Schreiben Sie also die vollständige Matrix für diesen Fall auf:

$$i\hbar \langle x|y\rangle = x\langle x|\hat{p}|y\rangle - \langle x|\hat{p}|y\rangle y = (x-y)\langle x|\hat{p}|y\rangle$$

Und jetzt sind x und y separate Variablen, die bei Bedarf unabhängig voneinander verschmiert werden können. Die Matrixelemente des p-Operators sind die Ableitung einer Delta-Funktion:

$$\langle x|\hat{p}|y\rangle = -i\hbar \delta'(x-y)$$

Was Sie also bekommen, ist

$$(x-y)\delta'(x-y)$$

Und du nimmst$x=y$naiv, indem man den ersten Faktor auf Null setzt, ohne zu bemerken, dass der Delta-Funktionsfaktor schrecklich singulär ist und das Ergebnis daher ohne sorgfältigere Auswertung schlecht definiert ist. Wenn Sie mit glatten Testfunktionen für x und y multiplizieren, um die Antwort ein wenig zu verschmieren:

$$\int f(x) g(y) (x-y) \delta'(x-y) dx dy= \int f(x)g(x) dx = \int f(x) g(y) \delta(x-y)$$

Wobei der erste Identifizierer aus der partiellen Integration in x und dem Nullsetzen aller Terme stammt, die unter der Auswertung der Delta-Funktion verschwinden. Das Ergebnis ist das

$$(x-y)\delta'(x-y) = \delta(x-y)$$

Und das Ergebnis ist nicht Null, es ist tatsächlich konsistent mit der Kommutierungsrelation. Diese Deltafunktionsgleichung erscheint mit Erklärung im ersten mathematischen Kapitel von Diracs "The Principles of Quantum Mechanics".

Es ist bedauerlich, dass formale Manipulationen mit Verteilungen so leicht zu Paradoxien führen. Betrachten Sie für ein verwandtes, aber anderes Paradoxon die Spur von$\hat{x}\hat{p}-\hat{p}\hat{x}$.

Da Sie anscheinend mit Ron Maimons Antwort nicht ganz zufrieden sind, werde ich es etwas anders ausdrücken.

Das Problem ist, dass Sie in Ihrer Ableitung eine versteckte Mehrdeutigkeit haben.

$$\langle{\psi}_p\vert \hat{x}\vert\psi_p\rangle = \infty \;\;\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\;\; \langle[\hat{x},\hat{p}]\rangle=...=(p-p)\langleψ_p|\hat{x}|ψ_p\rangle = 0\cdot\infty = \text{any number}$$ Das Problem sind die Funktionen. Eigenfunktionen sowohl des Impulsoperators als auch des Koordinatenoperators sind keine wirklichen Funktionen. Sie gehören nicht zu den integrierbaren Funktionen des Raums und daher können Sie nicht frei mit ihnen arbeiten und so tun, als ob sie es wären. Manchmal kannst du es, aber wenn du es irgendwann tust, gerätst du in Schwierigkeiten.

Wenn Sie eine "richtige" Funktion nehmen und rechnen, werden Sie keine Probleme finden. Nehmen wir zB

$$\psi(x)=\frac1{\sqrt{\pi}}e^{-x^2/2}$$ Dann $$\int_{-\infty}^{\infty} \psi(x) x\left( -i\hbar \frac{∂}{∂x} \right) \psi(x)dx = i\hbar \frac1{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{x^2}dx = i\hbar \frac1{2\sqrt{\pi}}$$ $$\int_{-\infty}^{\infty} \psi(x) \left( -i\hbar \frac{∂}{∂x} \right)x \psi(x)dx = i\hbar \frac1{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \left(x^2-1\right) e^{x^2}dx = i\hbar \frac1{2\sqrt{\pi}}-i\hbar$$ Der Unterschied ist, was Sie erwartet haben.

Wenn du nimmst$\psi_a(x)=\frac1{a}\psi(x/a)$und beachte das$\lim_{a\to0}\psi_a(x) = \delta(x) = \vert x\rangle$Sie werden eine Vorstellung davon bekommen, wie dieses Paradoxon für$\vert x \rangle$gelöst werden können und überprüfen Sie, ob die Lösung korrekt ist$0\cdot\infty$. Ein ähnlicher Trick kann verwendet werden, um Ihr Paradoxon zu lösen. Nur Funktionen, die haben$\psi_p$als Grenze sind weniger praktisch.

Ich denke, das Paradoxon liegt darin, dass$\hat{p}$ist kein hermitescher Operator in$x$Vertretung im engeren Sinne$\langle \alpha |\hat{p} | \beta\rangle \neq \langle \beta |\hat{p} |\alpha \rangle^*$in$x$Darstellung. Dann verfolgen wir genau die Aktion von$\hat{p}$,$\langle x |\hat{p} |\alpha \rangle =-i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \langle x |\alpha \rangle$.

$$\langle x | \hat{x} \hat{p}-\hat{p}\hat{x} |x \rangle =\langle x | \hat{x} \hat{p} |x \rangle -\langle x | \hat{p}\hat{x} |x \rangle=x\langle x | \hat{p} |x \rangle +i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \langle x |\hat{x} |x\rangle$$ $$=x (-i\hbar) \frac{\partial}{\partial x}\delta(0)+i\hbar \frac{\partial}{\partial x} x\delta(0)=i\hbar$$