Welche physikalische Bedeutung haben Kommutatoren in der Quantenmechanik?

Selbstadjungierte Operatoren treten auf zwei logisch unterschiedliche Arten in QM ein, das in komplexen Hilbert-Räumen beschrieben wird. Dies führt zu einem entsprechenden Bedeutungspaar des Kommutators.

Ersteres ist mit den beiden anderen möglichen Hilbertraumformulierungen (reelle und quaternionische) gemeinsam: Selbstadjungierte Operatoren beschreiben Observablen .

Zwei Observable können kompatibel oder inkompatibel sein , in dem Sinne, dass sie gleichzeitig gemessen werden können oder nicht (entsprechende Messungen stören sich gegenseitig beim Betrachten der Ergebnisse). Bis auf einige mathematische Formalitäten ist der Kommutator angesichts der Verallgemeinerungen des Heisenberg-Prinzips, die Sie in Ihrer Frage erwähnen, ein Maß für die Inkompatibilität . Grob gesagt, je mehr der Kommutator unterschiedlicher Form ist$0$, desto mehr sind die Observablen untereinander inkompatibel. (Denken Sie an Ungleichheiten wie$\Delta A_\psi \Delta B_\psi \geq \frac{1}{2} |\langle \psi | [A,B] \psi\rangle|$. Es verhindert die Existenz eines gemeinsamen Eigenvektors$\psi$von$A$und$B$- die Observablen gleichzeitig definiert sind - da ein solcher Eigenvektor verifizieren würde$\Delta A_\psi =\Delta B_\psi =0$.)

Die andere Art und Weise, wie selbstadjungierte Operatoren in den Formalismus der QM eingehen (hier unterscheiden sich reelle und quaternionische Versionen vom komplexen Fall), betrifft die mathematische Beschreibung kontinuierlicher Symmetrien. Tatsächlich scheinen sie Erzeuger einheitlicher Gruppen zu sein, die (stark kontinuierliche) physikalische Transformationen des physikalischen Systems darstellen. Eine solche kontinuierliche Transformation wird durch eine einheitliche Gruppe mit einem Parameter dargestellt$\mathbb R \ni a \mapsto U_a$. Ein berühmter Satz von Stone bestätigt dies tatsächlich$U_a = e^{iaA}$für einen eindeutigen selbstadjungierten Operator$A$und alle reell$a$. Dieser Ansatz zur Beschreibung kontinuierlicher Transformationen führt gerade angesichts der (eindeutigen!) Tatsache, dass$A$ ist auch eine beobachtbare .

Die Wirkung einer Symmetriegruppe$U_a$auf einem beobachtbaren$B$wird durch die bekannte Formel im Heisenberg-Bild deutlich:

$$B_a := U^\dagger_a B U_a$$

Zum Beispiel, wenn$U_a$beschreibt Drehungen des Winkels$a$um die$z$Achse,$B_a$ist das Analogon des Beobachtbaren$B$gemessen mit abgedrehten physikalischen Instrumenten$a$um$z$.

Der Kommutator ist hier eine Bewertung erster Ordnung der Wirkung der Transformation auf die Observable$B$, da (wieder bis auf mathematische Feinheiten speziell bei Domains):

$$B_a = B -ia [A,B] +O(a^2) \:.$$

Normalerweise sind die in Kommutierungsbeziehungen enthaltenen Informationen sehr tief. Wenn man sich mit Lie- Symmetriegruppen beschäftigt, erlaubt es, die gesamte Darstellung (es gibt eine wunderbare Theorie von Nelson zu diesem grundlegenden Thema) unter einigen recht milden mathematischen Hypothesen zu rekonstruieren. Daher spielen Kommutatoren eine entscheidende Rolle bei der Analyse von Symmetrien.

Ich möchte die Interpretation von Kommutatoren als Maß für Störungen (im Zusammenhang mit Inkompatibilität, wie in den anderen Antworten angesprochen) ein wenig erläutern. Meine Interpretation des Kommutators ist die$[A,B]$quantifiziert das Ausmaß, in dem die Wirkung von$B$ändert den Wert der dynamischen Variablen$A$, und umgekehrt.

Nehmen wir das an$A$ist ein selbstadjungierter Operator mit einem diskreten nicht entarteten Spektrum von Eigenwerten$\{a\}$mit zugehörigen eigenkets$\lvert a\rangle$. Dann können Sie das für jeden Operator zeigen$B$, besteht die folgende Zerlegung

$$B = \sum_{\Delta} B(\Delta),$$ so dass $$[A,B(\Delta)] = \Delta B(\Delta),$$ wo $B(\Delta)$ist unten definiert. Anzeigen des Kommutators $[A,.]$als linearer Operator hat dies die Form einer Eigenwertgleichung. Die Eigenwerte $\Delta$sind durch Differenzen zwischen Paaren von Eigenwerten von gegeben $A$, z.B $\Delta = a'-a$. Die spezifische Form der Eigenoperatoren $B(\Delta)$ist $$B(\Delta) = \sum_{a} \langle a+\Delta\rvert B\lvert a\rangle \;\lvert a+\Delta\rangle\langle a\rvert.$$ Dies zeigt, dass die $B(\Delta)$sind "Leiteroperatoren", die den Wert der Variablen erhöhen $A$um einen Betrag $\Delta$. Der Kommutator induziert somit eine natürliche Zersetzung von $B$in Beiträge, die den Wert von ändern $A$um einen bestimmten Betrag. Ein einfaches Beispiel ist die bekannte Kommutierungsbeziehung zwischen Spin $-1/2$Betreiber: $$[\sigma^z,\sigma^x] = \mathrm{i}2\sigma^y = +2\sigma^+ - 2\sigma^-.$$ Das sagt dir das $\sigma^x$hat zwei Teile, die entweder die Spinprojektion auf die erhöhen oder verringern $z$Achse um zwei "Einheiten", was in diesem Fall bedeutet $\pm 2\times\frac{\hbar}{2} = \pm \hbar$.

Im Allgemeinen ist der Vollkommutator

$$[A,B] = \sum_{\Delta} \Delta B(\Delta).$$ Das $B(\Delta)$sind linear unabhängig $^{\ast}$, also verschwindet der Kommutator nur dann, wenn $B(\Delta) = 0$für alle $\Delta \neq 0$, dh wenn $B$ändert den Wert von nicht $A$. Wenn $[A,B]\neq 0$, man kann ein Maß dafür bekommen, wie viel $B$Änderungen $A$durch Berechnung der Hilbert-Schmidt-Norm (Quadrat) des Kommutators: $$\mathrm{Tr}\left\{[A,B]^{\dagger}[A,B]\right\} = \sum_{a,a'}(a-a')^2\lvert\langle a\rvert B \lvert a' \rangle\rvert^2.$$ Dies ist die Summe der (quadratischen) Matrixelemente von $B$die verschiedene Eigenzustände von verknüpfen $A$, gewichtet mit der entsprechenden Änderung der Eigenwerte (Quadrat). Dies quantifiziert also eindeutig die Änderung in $A$durch Bewerbung herbeigeführt $B$.

Nun der nicht ganz so offensichtliche Teil: Was bedeutet „changing$A$durch Auftragen$B$" physikalisch bedeuten? Wie von Valter angemerkt, werden Evolution und Transformationen in QM formal durch Anwendung von unitären Operatoren ausgeführt , die von Observablen erzeugt werden, nicht durch Anwendung der Observablen selbst. Dies bezieht sich auf die obige Zerlegung auf folgende Weise. Angenommen, wir nehmen$A$der Hamiltonian zu sein$H$. Dann ist es einfach zu zeigen, dass die Evolution von$B$im Heisenberg-Bild ist gegeben durch

$$B(t) = e^{i H t} B e^{-i H t} = \sum_{\Delta} e^{i\Delta t} B(\Delta),$$ wo hier $\Delta$sind die Bohr-Frequenzen des betrachteten Systems. Die Sprungoperatoren $B(\Delta)$kann als die Fourier-Komponenten der Operatorwertfunktion interpretiert werden $B(t)$. Im Zusammenhang mit der Störungstheorie approximieren wir den Effekt der einheitlichen Evolution oft durch die Anwendung eines hermiteschen Operators (des störenden Hamilton-Operators), wobei die Interpretation der Sprungoperatoren in diesem Fall klar ist: Sie beschreiben die durch die verursachten Übergänge zwischen Energieeigenzuständen Störung $B$. Die oszillierende Zeitabhängigkeit führt letztlich zur Energieerhaltung als Frequenzanpassungsbedingung.

Dies ist kaum eine vollständige Antwort auf die eher optimistische Frage "was bedeuten Kommutatoren physikalisch". Es könnte jedoch dem neugierigen Studenten einige Denkanstöße geben.

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^{$^{\ast}$Dies folgt seit dem$B(\Delta)$sind orthogonal zum Hilbert-Schmidt-Innerenprodukt:}

$$\mathrm{Tr}\left\{ B(\Delta)^{\dagger} B(\Delta') \right\} = \delta_{\Delta,\Delta'} \sum_a \lvert \langle a \rvert B \lvert a+\Delta \rangle \rvert^2,$$ wo das Kronecker-Delta-Symbol $\delta_{\Delta,\Delta'}$gleich 1 wenn $\Delta = \Delta'$, andernfalls 0.

Auf einer Grundstufe:

1) wenn$[A,B]=0$, und wenn$A$und$B$sind infinitesimale Erzeuger einer Symmetrie (also auch Erhaltungsgrößen), das heißt, beides$A$ist invariant durch$B$, und$B$ist invariant durch$A$.

Zum Beispiel,$[H,J_z]=0$, bedeutet, dass der Drehimpuls während der Zeitentwicklung erhalten bleibt und dass die Hamilton-Funktion rotationsinvariant ist.

Wie @Valter Moretti sagt, ein Nicht-Null-Kommutator$[A,B]$misst die Abweichung von (beiden) Symmetrien.

2) Kommutatoren des Typs$[A, B] = \pm B$, wenn$A$einem diskreten Spektrum zugeordnet ist, bedeutet das$B$ist ein Heben/Senken-Operator mit einem "$A$-aufladen"$\pm 1$.

Ein offensichtliches Beispiel ist$[J_z, J_\pm]= \pm J_\pm$

3) Vertauschungsbeziehungen vom Typ$[\hat A, \hat B]= i \lambda$, wenn$\hat A$und$\hat B$sind Observablen, die klassischen Größen entsprechen$a$und$b$, könnte durch Betrachtung der Mengen interpretiert werden$I = \int a \,db$oder$J = \int b \,da$. Diese klassischen Größen können nicht in Quantenobservable überführt werden, weil die Unsicherheit bei diesen Größen immer vorhanden ist$\lambda$.

Zum Beispiel,$[\hat x,\hat p] = i \hbar$zeigt, dass es keine Quantenobservable gibt, die der Aktion entspricht$S =\int (\vec p\,d \vec x - E\, dt)$.

Obwohl diese Erklärung nicht sehr "physikalisch" ist und für einen beginnenden QM-Studenten wahrscheinlich nicht nützlich ist, denke ich, dass die gesamte wichtige Physik, die im Kommutator enthalten ist, letztendlich der Zassenhaus-Formel entspringt

$$e^{-it \left( \hat{A} + \hat{B} \right)} = e^{-it\hat{A}} e^{-it\hat{B}} e^{\frac{1}{2} it^2 \left[\hat{A}, \hat{B} \right]} \cdots,$$ bei dem die " $\cdots$" enthält Begriffe kubisch und höher in $\hat{A}$und $\hat{B}$und kann als Produkt von Exponentialen linearer Kombinationen von verschachtelten Kommutatoren ausgedrückt werden. Wenn wir daran denken $\hat{A}$und $\hat{B}$Da hermitische Operatoren (was fast immer in Kommutatoren einfließt) physikalischen Observablen entsprechen, zeigt uns diese Formel konkret, dass ihr Versagen beim Pendeln dazu führt, dass sie sich auf subtile Weise "interferieren", so dass ihre physikalischen Effekte dies nicht können getrennt sein. Das heißt, die einheitliche Transformation, die ihre Summe erzeugt (z. B. eine Zeitübersetzung oder ein Symmetrieoperator), ist nicht einfach der kombinierte Effekt jedes einzelnen "Teils" des Generators, der allein wirkt. Die ganze Seltsamkeit der Quantenmechanik folgt aus dieser einfachen Tatsache. Außerdem ist der Kommutator die Abweichung führender Ordnung vom klassischen Ergebnis.

Beginnen wir mit der Schrödinger-Gleichung:

$$\mathrm i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\left|\psi\right> = H\left|\psi\right>$$ Seit $H$selbstadjunkt ist, bedeutet dies auch $$\mathrm -i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\left<\psi\right| = \left<\psi\right|H$$ Betrachten Sie nun den allgemeinsten Quantenzustand, ausgedrückt durch eine Dichtematrix $$\rho = \sum_k p_k\left|\psi_k\middle>\middle<\psi_k\right|$$ Wir wollen die zeitliche Ableitung der Dichtematrix wissen. Offensichtlich ist die zeitliche Ableitung linear, und wir können auch die Produktregel verwenden, um sie zu erhalten $$\begin{aligned}\frac{\partial\rho}{\partial t} &= \sum_k p_k\left(\left(\frac{\partial}{\partial t}\left|\psi\right>\right) \left<\psi\right| + \left|\psi\right>\left(\frac{\partial}{\partial t}\left<\psi\right|\right)\right)\\ &= \sum_k p_k\frac{1}{\mathrm i\hbar}\left(H\left|\psi_k\middle>\middle<\psi_k\right|-\left|\psi_k\middle>\middle<\psi_k\right|H\right)\\ &= \frac{1}{\mathrm i\hbar}(H\rho - \rho H)\\ &= \frac{1}{\mathrm i\hbar}[H,\rho] \end{aligned}$$ Sie sehen also, dass hier der Kommutator ganz natürlich eintritt.

Betrachten Sie als Nächstes eine Observable$A$, und schauen wir uns die Zeitabhängigkeit seines Erwartungswerts an$\left<A\right>=\operatorname{tr}(A\rho)$.

Unter Verwendung der Linearität und zyklischen Invarianz der Spur erhalten wir

$$\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t}\left<A\right> &= \frac{\partial}{\partial t}\operatorname{tr}(A\rho)\\ &= \operatorname{tr}\left(\frac{\partial A}{\partial t}\rho\right) + \operatorname{tr}\left(A\frac{\partial\rho}{\partial t}\right)\\ &= \left<\frac{\partial A}{\partial t}\right>+\frac{1}{\mathrm i\hbar}\operatorname{tr}(A[H,\rho])\\ &= \left<\frac{\partial A}{\partial t}\right>+\frac{1}{\mathrm i\hbar}\left(\operatorname{tr}(AH\rho) - \operatorname{tr}(A\rho H)\right)\\ &= \left<\frac{\partial A}{\partial t}\right>+\frac{1}{\mathrm i\hbar}\left(\operatorname{tr}(AH\rho) - \operatorname{tr}(HA\rho)\right)\\ &= \left<\frac{\partial A}{\partial t}\right>+\frac{1}{\mathrm i\hbar}\operatorname{tr}([A,H]\rho)\\ &= \left<\frac{\partial A}{\partial t}\right> + \frac{1}{\mathrm i\hbar}\left<[A,H]\right> \end{aligned}$$ Betrachten wir nun speziell eine Erhaltungsgröße, die nicht explizit von der Zeit abhängt (also $\partial A/\partial t=0$). Wenn die Menge erhalten bleibt, bedeutet dies natürlich, dass ihr Erwartungswert erhalten bleibt. Die obige Gleichung ergibt dann sofort $\left<[A,H]\right>=0$, und da dies für willkürlich gelten muss $\rho$, wir bekommen $[A,H]=0$. Das heißt, eine Erhaltungsgröße pendelt mit dem Hamiltonoperator. Beachten Sie, dass wir hier nur den Kommutator in der Spur umhergeschoben haben.

Schauen wir uns nun den Hamilton-Operator genauer an. In der klassischen Mechanik können wir für nichtrelativistische Probleme den Hamiltonoperator schreiben als

$$H = \frac{p^2}{2m} + V(x)$$ und erhalte die Bewegungsgleichung $$\begin{aligned} \dot x &= \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m}\\ \dot p &= -\frac{\partial H}{\partial x} = -V'(x) \end{aligned}$$ Versuchen wir nun, ob wir das zumindest im Mittel mit der Quantenmechanik hinbekommen. Mit der Gleichung für Durchschnittswerte haben wir (da weder $x$Noch $p$explizit von der Zeit abhängen) $$\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t}\left<x\right> &= \frac{1}{\mathrm i\hbar}\left<[x,H]\right>\\ &= \frac{1}{\mathrm i\hbar}\frac{1}{2m}\left<[x,p^2]\right> + \frac{1}{\mathrm i\hbar}\underbrace{\left<[x,V(x)]\right>}_{=0}\\ &= \frac{1}{2m\mathrm i\hbar}\left(\left<[x,p]p\right> + \left<p[x,p]\right>\right) \stackrel{!}{=} \frac{1}{m}\left<p\right> \end{aligned}$$ Jetzt ist es offensichtlich, dass Sie das richtige Ergebnis erhalten, wenn $[x,p]=\mathrm i\hbar$. Ebenfalls, $$\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t}\left<p\right> &= \left<[p,H]\right>\\ &= \frac{1}{2m\mathrm i\hbar}\underbrace{\left<[p,p^2]\right>}_{=0} + \frac{1}{\mathrm i\hbar}\left<[p,V(x)]\right> \stackrel!= \left<-V'(x)\right> \end{aligned}$$ Es ist nicht schwer zu überprüfen, ob dieses Ergebnis erhalten wird, wenn $p=-\mathrm i\hbar\partial/\partial x$, was auch die soeben hergeleitete Vertauschungsrelation liefert.

Über den Zusammenhang mit Symmetrien und Unbestimmtheitsrelationen haben Sie bereits Antworten bekommen (und es ist jetzt ziemlich spät in der Nacht), also höre ich hier auf.

Es kann hilfreich sein, den Schülern folgendes HW-Problem zuzuweisen:

Vermuten$A$und$B$zwei Observable sein

i) Was ist die notwendige Bedingung dafür$A$und$B$gleichzeitig in einem Experiment ohne Unsicherheit gemessen werden können ?

ii) Schreiben Sie alle Polynome zweiten Grades in auf$A$und$B$die wiederum beobachtbar sind.

iii) Angenommen, A sei der Hamiltonoperator**. Die Zeit entwickelt einen Zustand$|\psi\rangle$für eine Zeit$t$unter$A$, und bezeichnen den so erhaltenen Zustand als$|\psi(t)\rangle$. Können wir ausdrücken$\displaystyle\frac{d\langle\psi(t)|B|\psi(t)\rangle}{dt}$wie$\langle\psi(t)|\mathcal{O}|\psi(t)\rangle$für einige beobachtbar$\mathcal{O}$? Wenn ja, finden$\mathcal{O}$.

** Bei diesem Problem dürfen wir auch nehmen$A$ein anderer Symmetriegenerator als Hamiltonian sein.

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Später hinzugefügt:

• Wenn der Kommutator verschwindet, können die beiden Observablen gleichzeitig in einem Experiment ohne Unsicherheit gemessen werden (dies folgt aus den Axiomen der QM).
• Der Erwartungswert des Kommutators$i[H,A]$(wobei H der Hamiltonoperator ist) in einem Zustand gibt die zeitliche Änderungsrate des Erwartungswerts an$A$in diesem Zustand. Allgemeiner der Erwartungswert des Kommutators$i[B,A]$in einem Zustand hängt mit der infinitesimalen Änderung des Erwartungswerts zusammen$A$in diesem Zustand, unter der Ein-Parameter-Symmetrie erzeugt durch$B$.
• Für zwei gegebene Observablen$A$, und$B$, ihr (i*) Kommutator$i[A,B]$und Antikommutator$\{A,B\}$sind wieder beobachtbar. Der Kommutator tritt jedoch aufgrund der beiden obigen Punkte häufiger in QM-Problemen auf (und ist möglicherweise bedeutsamer) als der Antikommutator.