3D ballistische Flugbahn mit quadratischem Luftwiderstand. Berechnung von Position und Geschwindigkeit zum Zeitpunkt ttt

Ein Partikel beginnt am Ursprung und hat eine Anfangsgeschwindigkeit, die durch einen 3D-Vektor dargestellt wird. Das Partikel erfährt Schwerkraft und Luftwiderstand mit quadratischem Widerstand (basierend auf Geschwindigkeit^2). Was ich gesucht habe, sind parametrische Gleichungen$x$,$y$, Und$z$Position und Geschwindigkeit des Teilchens zu einem bestimmten Zeitpunkt$t$.

Um die Antworten ähnlich zu halten, werden die beiden Konstanten g als Schwerkraft und a als Luftwiderstand sein. Vermute auch$z$ist eine positive Höhe.$v_x(t)$wird die Geschwindigkeit für die sein$x$Komponente zur Zeit$t$.${v_x}_0$würde die Anfangsgeschwindigkeit für die darstellen$x$Komponente.

Am Ende dieses Wikipedia-Artikels wird vorgeschlagen, dass es eine analytische Lösung für das 2D-Problem von einem Teenager Shouryya Ray gibt. Die entsprechenden Math.SE- und Phys.SE- Links haben Leute, die über das Lösen nach einer Reibungskonstanten diskutieren, aber es gibt nirgendwo parametrische Gleichungen. Ich bin mir nicht sicher, wie ich von dem, worüber sie sprechen, zu den tatsächlichen parametrischen Gleichungen komme, die ich brauche.

Um abzudecken, was ich bisher gelernt habe. In 3D mit Schwerkraft und ohne Widerstand können die folgenden parametrischen Gleichungen verwendet werden:

$v_x(t) = {v_x}_0$

$v_y(t) = {v_y}_0$

$v_z(t) = {v_z}_0-gt$

$s_x(t) = {v_x}_0t$

$s_y(t) = {v_y}_0t$

$s_z(t) = {v_z}_0t - \frac{1}{2} g * t^2$

Mit linearem Widerstand gemäß dem Wikipedia-Artikel, den wir verwendet hatten:

$v_x(t) = {v_x}_0e^{-\frac{a}{m}t}$

$v_y(t) = {v_y}_0e^{-\frac{a}{m}t}$

$v_z(t) = -\frac{mg}{a}+({v_z}_0+\frac{mg}{a})e^{-\frac{a}{m}t}$

$s_x(t) = \frac{m}{a}{v_x}_0(1-e^{-\frac{a}{m}t})$

$s_y(t) = \frac{m}{a}{v_y}_0(1-e^{-\frac{a}{m}t})$

$s_z(t) = -\frac{m * g}{a}t + \frac{m}{a}({v_z}_0 + \frac{m*g}{a})(1 - e^{-\frac{a}{m}t})$

Beim quadratischen Widerstand haben wir die Länge der Geschwindigkeit, sodass die Geschwindigkeit und Position jeder Komponente im Laufe der Zeit von den anderen Geschwindigkeitskomponenten abhängt. Beginnend mit diesem Beitrag kann ich die 3D-Version für den ersten Teil schreiben:

$v_x' = -av_x*\sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$

$v_y' = -av_y*\sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$

$v_z' = -av_z*\sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}-g$

Aber mir fehlt der mathematische Hintergrund, um weiterzumachen. Mir ist nicht einmal klar, wofür die von ihnen berechnete Reibungskonstante verwendet wird, da sie nicht auf der Zeit basiert. Ich würde denken, dass jeder Trick, der versucht, einen konstanten Koeffizienten zu berechnen, etwas über t wissen müsste. Wahrscheinlich stelle ich mir das falsch vor. Jede Hilfe wäre willkommen, da ich mir vorstelle, dass dies ein häufiges Problem in der Physik ist.

Bearbeiten: Mein Problemfall ist auch speziell für einen konstanten Schwerkraftvektor, wenn dies für bestimmte Lösungen hilft, sodass der Pfad eine Art Parabel sein muss. Soweit ich das beurteilen kann, sollte es eine Funktion geben, da es für jedes x einen y-Wert gibt.