Abbildung von (0,1)×(0,1)→(0,1)(0,1)×(0,1)→(0,1)(0,1) \times (0,1) \to (0,1)

Question

Abbildung von (0,1)×(0,1)→(0,1)(0,1)×(0,1)→(0,1)(0,1) \times (0,1) \to (0,1)

Funktionen
Mathematik
elementare Mengenlehre

Gerber55

Ich versuche, eine Injektion zu finden $f: (0,1) \times (0,1) \to (0,1)$ . Ich glaube nicht, dass meine jetzige Idee streng genug ist.

Lassen $(a,b) \in (0,1) \times (0,1)$ , So $a,b \in (0,1)$ , und es gibt daher Dezimalentwicklungen:

A = 0. X_{1} X_{2} X_{3} \dots B = 0. j_{1} j_{2} j_{3} \dots

$a = 0.x_1 x_2 x_3 \ldots \; b = 0.y_1 y_2 y_3 \ldots$ Dann definieren wir

F (A, B) = 0. X_{1} j_{1} X_{2} j_{2} X_{3} j_{3} \dots

$f(a,b) = 0. x_1 y_1 x_2 y_2 x_3 y_3 \ldots$ Es ist möglich dass

a

$a$ Und

b

$b$ haben nicht-eindeutige Dezimalerweiterungen, aber wir nehmen ohne Einschränkung der Allgemeinheit an, dass diese Dezimalstellen enden, bevor die Ausgabe von erstellt wird

f

$f$ .

Lassen $(a,b), (c,d) \in (0,1) \times (0,1)$ , Wo

\begin{aligned} A & = 0. A_{1} A_{2} A_{3} \dots \\ B & = 0. B_{1} B_{2} B_{3} \dots \\ C & = 0. C_{1} C_{2} C_{3} \dots \\ D & = 0. D_{1} D_{2} D_{3} \dots \end{aligned}

$\begin{align*} a& = 0.a_1 a_2 a_3 \ldots \\ b& = 0.b_1 b_2 b_3 \ldots \\ c& = 0.c_1 c_2 c_3 \ldots \\ d& = 0.d_1 d_2 d_3 \ldots \end{align*}$ wir nehmen an

f (a, b) = f (c, d)

$f(a,b) = f(c,d)$ . So

0. A_{1} B_{1} A_{2} B_{2} \dots = 0. C_{1} D_{1} C_{2} D_{2} \dots

$0.a_1 b_1 a_2 b_2 \ldots = 0.c_1 d_1 c_2 d_2 \ldots$ So

a_{1} = c_{1}

$a_1 = c_1$ ,

b_{1} = d_{1}

$b_1 = d_1$ , usw. also

a = b

$a = b$ Und

c = d

$c = d$ , So

(a, b) = (c, d)

$(a,b) = (c,d)$ .

Habe ich irgendetwas übersehen, das dieses Argument rigoros machen würde?

Markvs

Sie müssen genau erklären, was mit Zahlen wie zu tun ist

0.19999999...

$0.19999999...$ . Ansonsten ist es in Ordnung.

travvytree

Wenn Sie davon ausgehen, dass diese Dezimaldarstellungen enden, wie würden Sie beispielsweise abbilden?

(\frac{π}{4}, \frac{π}{6})

$(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{6})$ ?

Gerber55

@JCAA: Reicht es zu sagen, dass ich behandeln würde

0.199999999 \dots

$0.199999999\ldots$ Als wäre es

0.2

$0.2$ bevor Sie das Mapping einrichten?

Gerber55

@travvytree: Ich hätte klarer sein sollen. Ich möchte nicht, dass alle Erweiterungen beendet werden, sondern nur nicht eindeutige, wie die

0.19999 \dots

$0.19999\ldots$ Beispiel.

Markvs

Er nimmt nur an, dass Zahlen mit mehreren Dezimalerweiterungen "abbrechen". Diese Zahlen sind rational, weil sie endliche Dezimalerweiterungen haben. Aber das OP muss besser erklären, was mit diesen Zahlen zu tun ist. Diese sind schlimmer als

π / 4

$\pi/4$ .

Markvs

Was meinst du mit "behandeln"?

Gerber55

Können Sie mehr darüber sagen, was ich vermisse? Wenn

a = 0.19999999 \dots

$a = 0.19999999\ldots$ , dann hat es unendlich viele Dezimalerweiterungen, aber es gibt eine einzige, eindeutige Erweiterung, die endet. Ich kann definieren

a^{'}

$a'$ Und

b^{'}

$b'$ um die eindeutige 'abschließende' Dezimalstelle zu sein und dann zu handeln

(a^{'}, b^{'})

$(a', b')$ . Weil

(a^{'}, b^{'}) = (a, b)

$(a',b') = (a,b)$ , habe ich definiert

f

$f$ für alles drin

(0, 1) \times (0, 1)

$(0,1) \times (0,1)$ . Ist das besser?

5xum

@ Tanner55 Das ist etwas verwirrend.

0.1999 \dots

$0.1999\dots$ ist der gleiche Wert a

0.2

$0.2$ . Es gibt keinen Unterschied zwischen diesen beiden Zahlen. Es ist also keine gute Idee, es zu definieren

a^{'}

$a'$ , weil in Ihrer Definition,

a^{'} = a

$a'=a$ . Stattdessen ist es vorzuziehen, zu definieren

x_{i}

$x_i$ mit Bezug zu

a

$a$ direkt.

Gerber55

Könnte ich also definieren

f

$f$ aufzunehmen

(a, b)

$(a,b)$ und dann die Ziffern der ausgeben

(a^{'}, b^{'})

$(a',b')$ Erweiterung?

5xum

@ Tanner55 Sie verwenden dasselbe Symbol,

a

$a$ , für zwei Dinge. Eins ist die reelle Zahl

a

$a$ , und das andere ist eine Dezimalerweiterung von

a

$a$ . Daher kommt die Verwirrung, denn als reelle Zahlen

a

$a$ Und

a^{'}

$a'$ sind genau das gleiche .

Gerber55

Was aber, wenn ich die Ziffern umbenennen würde?

a = a_{1} a_{2} a_{3} \dots

$a = a_1 a_2 a_3 \ldots$ ,

a^{'} = a_{1}^{'} a_{2}^{'} a_{3}^{'} \dots

$a' = a_1' a_2' a_3' \ldots$ . Das gleiche mit

b

$b$ Und

b^{'}

$b'$ . So

(a, b) = (a^{'}, b^{'})

$(a,b) = (a',b')$ , aber ich definiere

f

$f$ durch die Regel, dass es eine Eingabe mit einer unendlichen Folge von Neunen "konvertiert", wie z. B. die Erweiterung von

a^{'}

$a'$ , zu der eindeutigen abschließenden Erweiterung, wie z. B. die für

a

$a$ , und verwendet dann diesen Algorithmus. Ist das besser?

5xum

@ Tanner55 Ja, das macht Sinn. Aber auch hier würde ich die Verwendung vermeiden

a

$a$ Und

a^{'}

$a'$ , weil das wiederum genau das gleiche Objekt ist . Die Verwendung von zwei Symbolen zur Bezeichnung einer Sache führt zu unnötiger Verwirrung. Stattdessen würde ich sagen

a = 0. a_{1} a_{2} \dots = a_{1}^{'} a_{2}^{'} \dots

$a=0.a_1a_2\dots=a_1'a_2'\dots$ , dann geben Sie das ausdrücklich an

f

$f$ arbeitet mit der Dezimalerweiterung, die endet.

zwim

Hier ist eine andere Lösung, die darin besteht, natürliche Sequenzen anstelle von Ziffern zu verschachteln math.stackexchange.com/a/2540524/399263

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Sie müssen genau erklären, was mit Zahlen wie zu tun ist $0.19999999...$ . Ansonsten ist es in Ordnung.
Wenn Sie davon ausgehen, dass diese Dezimaldarstellungen enden, wie würden Sie beispielsweise abbilden? $(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{6})$ ?
@JCAA: Reicht es zu sagen, dass ich behandeln würde $0.199999999\ldots$ Als wäre es $0.2$ bevor Sie das Mapping einrichten?
@travvytree: Ich hätte klarer sein sollen. Ich möchte nicht, dass alle Erweiterungen beendet werden, sondern nur nicht eindeutige, wie die $0.19999\ldots$ Beispiel.
Er nimmt nur an, dass Zahlen mit mehreren Dezimalerweiterungen "abbrechen". Diese Zahlen sind rational, weil sie endliche Dezimalerweiterungen haben. Aber das OP muss besser erklären, was mit diesen Zahlen zu tun ist. Diese sind schlimmer als $\pi/4$ .
Können Sie mehr darüber sagen, was ich vermisse? Wenn $a = 0.19999999\ldots$ , dann hat es unendlich viele Dezimalerweiterungen, aber es gibt eine einzige, eindeutige Erweiterung, die endet. Ich kann definieren $a'$ Und $b'$ um die eindeutige 'abschließende' Dezimalstelle zu sein und dann zu handeln $(a', b')$ . Weil $(a',b') = (a,b)$ , habe ich definiert $f$ für alles drin $(0,1) \times (0,1)$ . Ist das besser?
@ Tanner55 Das ist etwas verwirrend. $0.1999\dots$ ist der gleiche Wert a $0.2$ . Es gibt keinen Unterschied zwischen diesen beiden Zahlen. Es ist also keine gute Idee, es zu definieren $a'$ , weil in Ihrer Definition, $a'=a$ . Stattdessen ist es vorzuziehen, zu definieren $x_i$ mit Bezug zu $a$ direkt.
Könnte ich also definieren $f$ aufzunehmen $(a,b)$ und dann die Ziffern der ausgeben $(a',b')$ Erweiterung?
@ Tanner55 Sie verwenden dasselbe Symbol, $a$ , für zwei Dinge. Eins ist die reelle Zahl $a$ , und das andere ist eine Dezimalerweiterung von $a$ . Daher kommt die Verwirrung, denn als reelle Zahlen $a$ Und $a'$ sind genau das gleiche .
Was aber, wenn ich die Ziffern umbenennen würde? $a = a_1 a_2 a_3 \ldots$ , $a' = a_1' a_2' a_3' \ldots$ . Das gleiche mit $b$ Und $b'$ . So $(a,b) = (a',b')$ , aber ich definiere $f$ durch die Regel, dass es eine Eingabe mit einer unendlichen Folge von Neunen "konvertiert", wie z. B. die Erweiterung von $a'$ , zu der eindeutigen abschließenden Erweiterung, wie z. B. die für $a$ , und verwendet dann diesen Algorithmus. Ist das besser?
@ Tanner55 Ja, das macht Sinn. Aber auch hier würde ich die Verwendung vermeiden $a$ Und $a'$ , weil das wiederum genau das gleiche Objekt ist . Die Verwendung von zwei Symbolen zur Bezeichnung einer Sache führt zu unnötiger Verwirrung. Stattdessen würde ich sagen $a=0.a_1a_2\dots=a_1'a_2'\dots$ , dann geben Sie das ausdrücklich an $f$ arbeitet mit der Dezimalerweiterung, die endet.
Hier ist eine andere Lösung, die darin besteht, natürliche Sequenzen anstelle von Ziffern zu verschachteln math.stackexchange.com/a/2540524/399263

5xum · Answer 1

Ich denke, es reicht zu sagen, dass Sie keine unendliche Reihe von Neunen in der Erweiterung von zulassen $a$ Und $b$ . Mit anderen Worten, man kann sagen, dass wenn $a$ hat zwei Dezimalerweiterungen, die Sie definieren $x_i$ die Dezimalwerte der Erweiterung sein, die "beendet", dh wird $0$ ab irgendwann.

Das wiederum bedeutet auch, dass es bei der Konstruktion keine unendlichen Neunenreihen gibt $f(a,b)$ , was sich leicht nachweisen lässt.

Wie klingt das für einen Beweis: if $f(a,b)$ endet in einer unendlichen Reihe von Neunen, dann entweder $a$ beendet nicht bzw $b$ endet nicht, ein Widerspruch.
@ Tanner55 Dieser Beweis ist technisch falsch. Sie behaupten, dass wenn $f(a,b)$ endet dann in einer unendlichen Reihe von Neunen $a$ nicht oder _ $b$ nicht. Das ist keine gültige Implikation. In Wirklichkeit ist die Implikation, dass wenn $f(a,b)$ tut, dann $a$ muss auch, und das ist der Widerspruch. Dh, Sie beginnen mit der Annahme, dass $f(a,b)$ endet mit Neunen, und daraus schließen Sie das $a$ muss mit neunen enden. Aber das weißt du auch $a$ endet nicht mit Neunen, daher erreichen Sie einen Widerspruch.

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Ist diese Menge abzählbar unendlich? Wenn ja, wie zeige ich eine Eins-zu-eins-Korrespondenz zwischen diesen beiden Sätzen?

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