Ableitung der Transformationsmatrix für 6DoF-Dynamik

Question

Ableitung der Transformationsmatrix für 6DoF-Dynamik

Physik
Kinematik
Winkelgeschwindigkeit
Rotationsdynamik
Rotationskinematik

Toms42

Ich implementiere einen Planer für einen 6DOF-Unterwasserroboter und verwende die in Kapitel 7.5 von Fossens Handbook of Marine Craft abgeleitete Dynamik. Ich verwende die in NED ausgedrückten Bewegungsgleichungen unter Verwendung von Positionen und Euler-Winkeln, um die differenzielle Ebenheitssteuerung zu verwenden. Siehe Gleichung 7.190.

Dazu gehört die Transformation von Geschwindigkeiten (linear und winklig: [x_dot, y_dot, z_dot, p, q, r]) zwischen dem Welt(NED)-Rahmen und dem Körperrahmen des Roboters. Dies wird in Gleichung 7.191 unter Verwendung der Matrix beschrieben $J$ , der die Linear- und Winkelgeschwindigkeiten zwischen dem festen Weltrahmen und dem Körperrahmen transformiert:

J_{Θ} (η) = [\begin{matrix} R_{B}^{N} (Θ_{N B}) & 0_{3 \times 3} \\ 0_{3 \times 3} & T_{Θ} (Θ_{N B}) \end{matrix}]

$J_\Theta(\eta) = \begin{bmatrix}R_b^n(\Theta_{nb}) & 0_{3\times3}\\ 0_{3\times3} & T_\Theta(\Theta_{nb})\end{bmatrix}$ Wo:

\dot{η} = J_{Θ} (η) v

$\dot\eta = J_\Theta(\eta)v$

T_{Θ} (Θ_{N B}) = [\begin{matrix} 1 & Sünde ϕ bräunen θ & \cos ϕ bräunen θ \\ 0 & \cos ϕ & - Sünde ϕ \\ 0 & Sünde ϕ / \cos θ & \cos ϕ / \cos θ \end{matrix}]

$T_\Theta(\Theta_{nb}) = \begin{bmatrix}1 & \sin\phi \tan\theta & \cos\phi \tan\theta\\0 & \cos\phi & -\sin\phi\\ 0 & \sin\phi / \cos\theta & \cos\phi / \cos\theta\end{bmatrix}$

η

$\eta$ ist die Position/Orientierung im festen Weltrahmen:

[x, y, z, ϕ, θ, ψ]

$[x,y,z,\phi,\theta,\psi]$

$\dot\eta$ sind die Geschwindigkeiten im Weltsystem: $[\dot x, \dot y, \dot z, p, q, r]$

$v$ sind die Geschwindigkeiten im Körperrahmen.

Mein Problem ist, dass ich es wissen muss, um die Beschleunigung im Weltrahmen zu finden $\dot J$ , für die ich in Fossens Lehrbuch anscheinend keine Definition finden kann. Siehe Gl. 7.192: $C^*$ Und $\ddot\eta$ beide hängen davon ab $\dot J$ . Ich bin mir der zeitlichen Ableitung der Rotationsmatrix bewusst $R$ mit der schiefen symmetrischen Matrix, aber ich bin mir nicht sicher, wie ich die Ableitung des Ganzen finden soll $J$ Matrix. Weiß jemand, was ich tun soll oder wo ich nach weiteren Informationen suchen kann?

Beispielverwendung von $\dot J$ :

\ddot{η} = J_{Θ} (η) \dot{v} + {\dot{J}}_{Θ} (η) v

$\ddot \eta = J_\Theta(\eta)\dot v + \dot J_\Theta(\eta) v$

Eli

warum stellst du diese frage?

Antworten (2)

Ableitung der Transformationsmatrix für 6DoF-Dynamik

STRESSENERGYTENSOR12 · Answer 1

In dem Beispiel könnte J für die Verwendung eines linearen Differentialgleichungsansatzes gelöst werden, denke ich? Vielleicht eine iterative Methode wie die von Euler oder Runge-Kuta?

Dies setzt natürlich voraus, dass v und seine Zeitableitung keine Abhängigkeit von n(eta) haben [Entschuldigung für die Formatierung, bin auf dem Handy].

Sobald J gelöst ist, würde ich mir vorstellen, dass die richtigen Randbedingungen Sie zu einer nützlichen Antwort führen würden.

Es ist zumindest einen Versuch wert.

Eli · Answer 2

du fängst an mit:

\begin{matrix} (1) & \vec{R} = \vec{F} (\vec{Q}) \end{matrix}

$\vec{R}=\vec{f}(\vec{q})\tag 1$

Wo $\vec{q}$ sind die verallgemeinerten Koordinaten

Zeitableitung:

\vec{\dot{R}} = \frac{D}{D T} (\vec{F} (\vec{Q})) = \frac{\partial \vec{F}}{\partial \vec{Q}} \vec{\dot{Q}} = J \vec{\dot{Q}}

$\vec{\dot{R}}=\frac{d}{dt}\left(\vec{f}(\vec{q})\right)=\frac{\partial \vec{f}}{\partial \vec{q}}\,\vec{\dot{q}}=J\,\vec{\dot{q}}$

daher

\vec{\dot{R}} = \vec{\dot{R}} (\vec{Q}, \vec{\dot{Q}}) = \vec{G} (\vec{Q}, \vec{\dot{Q}})

$\vec{\dot{R}}=\vec{\dot{R}}(\vec{q},\vec{\dot{q}})=\vec{g}(\vec{q},\vec{\dot{q}})$

\begin{matrix} (2) & \vec{\ddot{R}} = \underset{J}{\underset{⏟}{\frac{\partial \vec{G}}{\partial \vec{\dot{Q}}}}} \vec{\ddot{Q}} + \frac{\partial \vec{G}}{\partial \vec{Q}} \vec{\dot{Q}} = J \vec{\ddot{Q}} + \underset{\dot{J}}{\underset{⏟}{\frac{\partial J \vec{\dot{Q}}}{\partial \vec{Q}}}} \vec{\dot{Q}} \end{matrix}

$\vec{\ddot{R}}=\underbrace{\frac{\partial \vec{g}}{\partial \vec{\dot q}}}_{J}\vec{\ddot{q}}+ \frac{\partial \vec{g}}{\partial \vec{ q}}\vec{\dot{q}}= J\,\vec{\ddot{q}}+\underbrace{\frac{\partial {J\,\vec{\dot{q}}}}{\partial \vec{ q}}}_{\dot{J}}\vec{\dot{q}}\tag 2$

Bemerkungen: die Bewegungsgleichungen

NEWTON-Gleichungen:

M \vec{\ddot{R}} = {\vec{F}}_{A}

$M\,\vec{\ddot{R}}=\vec{F}_A$

mit Gleichung (2)

\begin{matrix} (A) & M (J \vec{\ddot{Q}} + \dot{J} \vec{\dot{Q}}) = {\vec{F}}_{A} + {\vec{F}}_{C} \end{matrix}

$M\left(J\vec{\ddot{q}}+\dot{J}\,\vec{\dot{q}}\right)=\vec{F}_A+\vec{F}_C\tag A$

Wo $\vec{F}_A$ sind die aufgebrachten Kräfte und $\vec{F}_C$ sind die Zwangskräfte.

Um die Zwangskräfte zu eliminieren, multiplizieren Sie Gleichung (A) von links mit $J^T$

J^{T} M J \vec{\ddot{Q}} = J^{T} {\vec{F}}_{A} - J^{T} M \dot{J} \vec{\dot{Q}}

$\boxed{J^T\,M\,J\vec{\ddot{q}}=J^T\,\vec{F}_A-J^T\,M\,\dot{J}\,\vec{\dot{q}}}$

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Toms42

Eli

Antworten (2)

STRESSENERGYTENSOR12

Eli

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