Ableitung des Widerstands eines Koaxialkabels

Wie hier angegeben , die Ableitung des Widerstands für Koaxialkabel

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Betrachten Sie ein langes Koaxialkabel L , bestehend aus einem zylindrischen Leiter mit Radius a, umgeben von einer zylindrischen leitenden Hülle mit Radius B . Der Raum zwischen den Leitern ist mit einem Isoliermaterial gefüllt.
Der Widerstand entlang des Kabels ist erheblich kleiner als der Widerstand zwischen Innen- und Außenzylinder. Stellen Sie sich einen Strom vor, der durch eine Folge zylindrischer Schalen mit dem Radius r und der Dicke dr fließt. Jede Schale hat einen Widerstand D R gegeben von

D R = ρ 2 π R L D R
Integrieren von R = A Zu R = B den Gesamtwiderstand zu finden ergibt:
R = ∫ A B D R = ρ 2 π L ∫ A B 1 R D R
Somit
R = ρ 2 π L ln ⁡ ( B A )
Im Allgemeinen beträgt dieser Widerstand mehrere hundert, ohms/mum den "Leckstrom" zu minimieren, der durch das Isoliermaterial zwischen den Leitern fließt.

Die Sache ist, ich kann es scheinbar nicht verstehen, aber ich weiß, dass es es vollständig erklärt hat. Vielleicht versteht es jemand anderes, der es liest. Ich wollte nur fragen, ob es jemand genauer erklären kann? So wie Sie die gleichen Variablen und Ableitungen wie im Bild verwenden können, erklären Sie es einfach anders. Auf diese Weise kann ich auf die Quelle zurückblicken und anhand der detaillierteren Erklärungen verstehen, was passiert.

Was ich kenne, ist die Grundformel für Widerstand

R = ρ L A
Basierend auf den Informationen habe ich mir Gedanken darüber gemacht, wie die Variablen dargestellt wurden

  • Widerstand : R → D R
  • Widerstand : ρ → ρ
  • Länge : L → D R
  • Querschnittsfläche: A → 2 π R L

Nun, ich denke, es ist irgendwo falsch. Ich denke der D R soll der Querschnittsfläche zugeordnet werden. Daher würde ich es begrüßen, wenn die Analoga aus der ursprünglichen Formel erklärt werden könnten. Das Lösen kann ich ab da übernehmen, da ich mich mit Integralformeln auskenne und die D R / R führt definitiv zu einer Antwort mit einem natürlichen Logarithmus. A ist die untere Grenze, der Radius des Kabels und B ist die obere Grenze, die der Radius des Kabels einschließlich der Isolierung ist.

Der Professor möchte, dass Sie den Widerstand des ISOLATORS zwischen dem Innenleiter und dem Außenleiter/Schirm finden. Das ist so ungewöhnlich, dass es Sie für eine Schleife geworfen hat. Ich musste es selbst dreimal lesen. Das Problem besteht darin, dass die Querschnittsfläche nicht einheitlich ist, wenn sie sich vom Innenleiter zum Außenleiter nach außen bewegt. Sie müssen also mithilfe von Shells integrieren. Es ist zu lange her, seit ich Kalkül gemacht habe, um mich damit zu beschäftigen. Ich würde ein Raster in einer Excel-Tabelle erstellen und es numerisch machen, wenn ich es herausfinden müsste.
Ein anderer Ansatz wäre, den Isolator konzeptionell zu einer Folie abzuwickeln. Berechnen Sie den Widerstand von einer Platte zur anderen, die durch das Blech verläuft. Verwenden Sie für die Breite den geometrischen Durchschnitt (sqrt(Ci * Co)), wobei Ci der Innenumfang und Co der Außenumfang ist. Ich denke, das ist eine Annäherung, aber es erspart Ihnen, das Integral zu machen.

Antworten (3)

Ausgehend von der Grundformel für den Widerstand :

R = ρ L / A berücksichtigen Sie die konzentrischen zylindrischen Schalen und die Kabellänge G

Wir wollen den Widerstand von einer Seite zur anderen eines dünnen zylindrischen Mantels der Länge G und der Dicke dr berechnen (Strom fließt radial durch den Mantel).

Also ist L in diesem Fall die infinitesimale Radiusänderung dr

Wir werden die dünne Scheibe in radialer Richtung verwenden, weil sich der Radius ändert, wenn wir von innen nach außen gehen, und daher der Widerstand einer Scheibe gleicher Dicke dr nach außen abnimmt, und wir entlang dieses Pfades integrieren möchten, um zu finden der Gesamtwiderstand. Wir integrieren auf dem Weg, den der Strom vom Innenleiter zum Außenleiter nimmt. Entlang des Mittel- und Außenleiters wird ein vernachlässigbarer Widerstand angenommen.

A ist die Länge des Kabels G multipliziert mit dem Umfang, was ist 2 π R G .

So D R = ρ D R / ( 2 π R G )

Wenn wir die Konstanten aus der Integration ziehen, haben wir:

Der Widerstand R = ρ 2 π G ∫ A B 1 R D R

Wir wissen, dass das bestimmte Integral ln(b)-ln(a) = ln(b/a) ist, und wir erhalten die Lösung von der Site.

Also lass mich das klären. Ich werde versuchen, eine verdummte Erklärung der analogen Darstellungen zu geben. Grundsätzlich werden für normale Drähte die beiden Achsen für den Querschnitt verwendet, die einen Kreis bilden, und die verbleibende Achse wird für die Länge verwendet. Dabei wird nur eine der ursprünglichen Kreisachsen für den Querschnitt und die andere ursprünglich für die Länge verwendet. Aus diesem Grund scheint die Fläche eine Seitenfläche eines Zylinders darzustellen, die nach Ihrer Darstellung 2πrh oder 2πrG beträgt. Dies erklärt auch, warum Radius verwendet wird.
Ja. Der Radius wird verwendet, weil der Widerstand jeder Scheibe je nach Radius variiert, also möchten wir entlang des Radius integrieren, um die Gesamtzahl zu erhalten. Mit einigen geringfügigen Änderungen könnte auch der Durchmesser verwendet werden.
Aber ich habe noch einige Fragen. 1) Warum sich die Mühe machen, die Achse zu ändern? Ich weiß, wie es damit zu tun hat, dass es sich um eine konzentrische zylindrische Hülle handelt, aber ich verstehe nicht genau, warum. Ich weiß, dass Sie etwas über Strom gesagt haben, der radial durch die Schale fließt, aber ich würde gerne eine explizitere Erklärung dafür haben, warum Sie eine so drastische Änderung gegenüber der üblichen Achsenkonvention vornehmen, die an Drähten vorgenommen wird.
2) Warum ist der verwendete Radius ein Differential und nicht genau? Liegt es daran, dass der Radius nicht konstant ist? Lassen Sie mich klarstellen, erhalten Sie den Widerstand der Isolierung nur richtig? Denn ich bin mir nicht sicher, ob sich der sich ändernde Radius optisch auf den inneren Kreis oder den durch die Isolierung gebildeten Ring bezieht. Ich würde es begrüßen, wenn Ihre Antwort eine Bearbeitung des ursprünglichen Beitrags wäre, da es langwierig werden könnte, wenn Sie versuchen, ihn auf intuitive Weise mit den ursprünglichen Konventionen zu vergleichen.
Bearbeitet. Beachten Sie, dass, wenn die Leitfähigkeit ρ entlang des Weges eines gewöhnlichen zylindrischen Drahtes geändert ( ρ ( X ) ) würden wir entlang der Länge des Drahtes integrieren, um diese Änderung zu erfassen und den Gesamtwiderstand zu berechnen.
Ich fange an, es zu verstehen, aber ich habe noch viele Fragen zu stellen, ob es in Ordnung ist. 1) Verwenden wir den Radius, weil die Art der visuellen Integration, die wir durchführen, um das zylindrische Koordinatensystem herum funktioniert? 2) Zur Verdeutlichung, der Widerstand, auf den sich das Problem bezieht, ist nur die Schale. Es ist der blau gefärbte Teil in der Abbildung richtig? Der rote Teil und die weiße Freifläche dazwischen zählt nicht? 3) Wie würde die Integration funktionieren, wenn sich auch die Leitfähigkeit ändert? Gäbe es zwei Differentiale, $ dρ dr $?
Wenn sich die Leitfähigkeit nur als Funktion des Radius ändert ρ ( R ) es müsste in die Integration mit einbezogen werden, statt links herausgezogen zu werden. Wenn es sich entlang der Länge ändern würde, wäre es komplexer (und müsste wahrscheinlich numerisch durchgeführt werden, da die Symmetrie verloren gehen würde).
Es wäre also ein Doppelintegral, oder? Sorry, wenn ich das klarstellen musste. Ich wollte auch fragen, ob meine Konzepte von Frage 1 und 2 zuvor richtig waren. "1) Verwenden wir den Radius, weil die Art der Integration, die wir visuell durchführen, um das zylindrische Koordinatensystem herum funktioniert? 2) Zur Verdeutlichung, der Widerstand, auf den sich das Problem bezieht, ist nur die Schale. Es ist der blau gefärbte Teil in der Abbildung rechts ?Der rote Teil und die weiße Freifläche dazwischen zählen nicht?"
In meinem Beispiel rho(Radius), kein doppeltes Integral. Einfaches Integral mit zwei Funktionen. Wenn Sie Doppelintegrale benötigen, müssen Sie wahrscheinlich einen Feldlöser verwenden, da der Strom nicht auf einfache Weise fließt.

Die Aussage "Im Allgemeinen beträgt dieser Widerstand mehrere hundert Ohm/m, um [Leckage] zu minimieren" ist in mindestens zweierlei Hinsicht irreführend.

Das erste ist das Problem der Einheiten. Die Einheit „Ohm/m“ bedeutet, dass der Widerstand mit zunehmender Entfernung zunimmt. Der Ableitwiderstand nimmt jedoch mit der Entfernung ab . Die Einheit sollte entweder Ohmmeter sein oder, was üblicher ist, Leitwert pro Längeneinheit, wie z. B. S/m.

Zweitens wird die Größe des Widerstands stark unterschätzt, wenn der Widerstand mit mehreren hundert Ohm/m angegeben wird, selbst wenn die Einheiten korrekt wären. 10 15 Ohm-m oder 10 − 15 S/m wäre näher am Ableitwiderstand eines typischen Koaxialkabels.

Wie in den Kommentaren darauf hingewiesen wurde, erfordert die Berechnung der Leitfähigkeit/Länge aus dem spezifischen Widerstand des Isoliermaterials eine Integration über eine Fläche, aber die Formel ist in der Aufgabe angegeben.

Hmm, bist du dir bei 1e15 Ohm m sicher? Ich habe den Eindruck, dass die Kabelleckage bereits bei Messungen mit Prüflingen im höheren Gigaohm-Bereich als störend empfunden wird. oder ist es tatsächlich die Kabelkapazität, die durch extrem lange RC zum Problem wird?
@tobalt Viele Koaxialhersteller geben die Leckleitfähigkeit nicht in ihren Spezifikationen an. HELUKABEL helukabel.com/cnen/products/… gibt jedoch einen Wert für den „minimalen Isolationswiderstand“ von 10^5 MOhm-km an. (Die Webversion sieht aus wie 105, aber das PDF-Datenblatt zeigt deutlich die 5 in einer Exponentenposition, dh 10^5). Das ergibt 10^14 Ohmmeter. Aus der Spezifikation geht nicht hervor, ob sich dies auf den Widerstand des Dielektrikums oder des Außenmantels bezieht. Aus dem Zusammenhang würde ich ersteres vermuten, bin mir aber nicht sicher. Werde noch weitere Hersteller suchen.

OK, also ist die normale Formel für Widerstand, oder wie Sie sie finden, entlang des Pfades zu integrieren, den der Strom nimmt. Fließt Strom in +x-Richtung, integriert man über x. Jeder Abschnitt, den Sie integrieren, hat einen Widerstand von rho / A * dx. A ist die Querschnittsfläche des Leiters. Üblicherweise ist bei diesen Problemen A gleichförmig. Eine Konstante. Das kann vorne herausgezogen werden, bevor Sie das Integral machen. Es ist also kaum ein Integral und Sie multiplizieren einfach rho mit der Ausdehnung in x und dividieren durch die Fläche. Normalerweise ist Rtotal also nur rho * Länge / Fläche.

Aber in unserem Fall haben wir einen ungleichmäßigen Querschnitt, also ist das Integral komplizierter. Da entlang der Länge L kein Strom fließt, verwenden wir L an einer anderen Stelle, was ebenfalls verwirrend ist.

Also, was sind die Analoga? Anstelle von dx haben wir dr, weil der Strom radial nach außen fließt. Statt A haben wir Umfang * Länge. Das ist also A = (2 * pi * r * L).

Jetzt nimmt unser Ausdruck Gestalt an. Es ist nur:

Rshell = (rho / (2 * pi * r * L) ) dr

Sie werden nur von r = a nach r = b integrieren. Alles ist konstant außer dr/r, also wird rho / (2 * pi * r * L) nach vorne gezogen. Wenn wir annehmen, dass L 1 Meter beträgt, dann verschwindet es.

Ich bin mir nicht sicher, ob das für dich mehr Sinn macht. Der Schlüssel ist, dass Sie entlang des Strompfads integrieren und durch die Querschnittsfläche dieses Pfads teilen.

Bisher habe ich Mathjax nicht gelernt. Fühlen Sie sich frei, es zu reparieren.

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