Analyse I (Terence Tao) – Freie und gebundene Variablen

In Terence Taos Analyse I (Seite 321) sagt er, dass die Aussage „ X + 3 = 5 hat keinen bestimmten Wahrheitswert, wenn X ist eine freie reelle Variable". Andererseits ist die Aussage "let X = 2 " bindet die Variable X . Taos Bemerkungen ließen mich mit ein paar Fragen zurück:

  1. Wenn X keine freie reelle Variable ist, kann die Gleichung X + 3 = 5 verstanden werden, um die Variable zu binden X ? Wenn ja, dann ist die Gleichung X + 3 = 5 ein Statement? Was ist mit der Gleichung X = X + 1 , die keine echten Lösungen hat? Bindet dies die Variable X ?
  2. Die Worte „lassen X = 2 " sollen die Variable binden X . Ist es einfach eine Konvention, dass, wenn wir das Wort "let" verwenden, die Variable X gebunden wird? Kann die Gleichung X = 2 auch in dem Fall verwendet werden, wo X eine freie reelle Variable ist, in diesem Fall X = 2 hat keinen bestimmten Wahrheitswert? Und wenn wir schreiben „lass X = 2 “, ist das eine Aussage ?
  3. Die Identität ( X + 1 ) 2 = X 2 + 2 X + 1 gilt für alle reellen Werte von X . Mit anderen Worten, die folgende Aussage ist wahr:
    ∀ X : ( X + 1 ) 2 = X 2 + 2 X + 1 .
    Laut Tao bedeutet dies, dass „die Aussage ( X + 1 ) 2 = X 2 + 2 X + 1 ... gilt auch wenn X ist eine freie Variable". Was ich daran paradox finde, ist, dass ich das wissen muss ( X + 1 ) 2 = X 2 + 2 X + 1 ist wahr, wenn sogar wenn X eine freie Variable ist, das müssen wir zeigen ∀ X : ( X + 1 ) 2 = X 2 + 2 X + 1 , Wo X gebunden wird. Mit anderen Worten, die Aussage ( X + 1 ) 2 = X 2 + 2 X + 1 für eine beliebige freie Variable X scheint die Variable zu binden X . Gibt es etwas, das ich hier vermisse?
Ich kenne mich mit freien und gebundenen Variablen nicht sehr gut aus, aber diese Frage erinnert mich daran, wie in der Computerprogrammierung "Zuweisung" (oft x = c) eine andere Syntax verwendet als "auf Gleichheit prüfen" (oft x == c).
Wenn X liegt im Bereich eines Quantors, wie zB ∀ X ( X ≥ 0 ) , dann ist es gebunden . Wenn nicht, wie zB in ( X ≥ 0 ) es ist kostenlos .
3: "Die Identität ..." bedeutet, dass wir einen implizit führenden universellen Quantor haben: ∀ X [ ( X + 1 ) 2 = X 2 + 2 X + 1 ]
2. Ja, es ist eine Konvention: Wir weisen Variablen zu X der Wert 2 . Somit ist es überhaupt keine Variable mehr.
@MauroALLEGRANZA, ich (nicht das OP) habe die Situation wahrscheinlich verwirrt, indem ich einen Beitrag von jemandem mit demselben Benutzernamen kommentiert habe. Verzeihung. Das OP kennt sich wahrscheinlich besser mit freien und gebundenen Variablen aus als ich.
@MauroALLEGRANZA: OP hier. Danke für die Antwort. Ich bin mir immer noch nicht sicher, ob die Gleichung X + 3 = 5 verstanden werden, um die Variable zu binden X aber ebenso wie der Ausdruck „let X = 2 " tut.
Die Formel ∀ X ( X + 3 = 5 ) ist während falsch ∃ X ( X + 3 = 5 ) ist wahr; Wenn wir also die Gleichung schreiben, verstehen wir normalerweise, ein "Problem" anzugeben: die Lösung (falls vorhanden) der Gleichung zu finden.
@MauroALLEGRANZA: Ist es möglich, wenn Sie die Antwort auf meine dritte Frage erläutern?
Oben schon beantwortet: Die Formel gilt für jede Wertauswahl X , weil die universelle Quantifizierung wahr ist. Siehe Universelle Instanziierung ∀ X φ → φ [ A / X ]
@MauroALLEGRANZA: Tao sagt, dass die Aussage ( X + 1 ) 2 = X 2 + 2 X + 1 kann als wahr angesehen werden, selbst wenn X ist eine freie Variable, und das finde ich verwirrend.
Sehr wenige hinzuzufügen ... Die Def von frei und gebunden beziehen sich auf eine formale Sprache mit Quantoren und sie sind klar und einfach: in ∀ X [ ( X + 1 ) 2 = X 2 + 2 X + 1 ] X ist gebunden, während in ( X + 1 ) 2 = X 2 + 2 X + 1 X ist kostenlos . Das ist alles. Im aktuellen Mathematik-Jargon lassen wir Quantoren manchmal weg, weil die richtige Lesart vom Kontext bestimmt wird. Wir haben das ( X + 1 ) 2 = X 2 + 2 X + 1 wird als Identität bezeichnet , weil sie immer wahr ist, dh für jeden Wert, der einer Variablen zugewiesen wird, wahr ist X . 1/2
In diesem Sinne (das ist IMO der Sinn der verschlungenen Diskussion von Tao) haben wir eine Formel mit freier Variable – und damit ohne eindeutigen Wahrheitswert – die tatsächlich „wie“ ein Satz (also eine Formel ohne freie Variablen) „funktioniert“. wir wissen, dass jede mögliche Zuweisung von Werten an die Variable denselben Wahrheitswert ausgeben wird, dh WAHR. 2/2
@MauroALLEGRANZA: Okay, das klärt die Dinge. Ich habe noch eine Frage: Das sagt Tao X = 2 → X 2 = 4 ist eine wahre aussage. Ich glaube jedoch, dass wir, wenn wir formell sind, schreiben sollten ∀ X : X = 2 → X 2 = 4 . Genau genommen ist die Behauptung, dass X = 2 → X 2 = 4 ist weder wahr noch falsch, weil X ist frei, und nur Aussagen ohne freie Variablen sind wahr oder falsch. Ist das korrekt?
Siehe diese Frage: math.stackexchange.com/questions/2995394/… . Es gibt zwei sehr häufige entgegengesetzte Mechanismen zu freien Variablen, die beide in vielen Logiken verwendet werden.
Elementare algebraische Formeln wie f(x)=x+1, die wir in der Mittelschule gelernt haben, sind wohlgeformte Formeln mit freier Variable x, da x über dem Bereich der natürlichen Zahl oder der reellen Zahl oder sogar der komplexen Zahl liegen kann. Wir können also nicht sicher sein, welcher Wert f(x) ausgewertet wurde, es sei denn, wir führen Definitionsbereich und Quantifizierer ein, sagen wir natürliche Zahlen, dann ist x gebunden und was noch wichtiger ist, wir können einen Wahrheitswert für ein Prädikat wie ∀x(f(x)= haben 2), was natürlich falsch ist, aber ∃x(f(x)=2) wahr ist.

Antworten (3)

Es ist nicht besonders nützlich, sich „frei“ versus „gebunden“ als eine absolute Unterscheidung vorzustellen, bei der jede Variable entweder das eine oder das andere ist.

Vielmehr ist „frei“ oder „gebunden“ etwas, was eine Variable in Bezug auf eine bestimmte Menge an Kontext sein kann . Die Klassifizierung ist wirklich eine Funktion sowohl der Variablen als auch davon, wie viel Kontext Sie betrachten, und wenn Sie zum Suchen und einem größeren Kontext wechseln, kann sich die Variable von frei zu gebunden ändern.

Das eigentliche Konzept ist nicht " X ist eine freie Variable", aber " X ist frei in (ein Text oder eine Formel hat den Namen X darin)". Manchmal unterlassen wir die Angabe des Kontexts, wenn wir darauf vertrauen, dass der Leser herausfinden kann, über welchen Kontext wir sprechen, aber das technische Konzept ist ohne ihn nicht vollständig.

Nehmen wir zum Beispiel an, wir sagen:

Lassen B = 5 .

Tut X 2 = B + 3 eine Lösung haben für X ?

Wenn wir die Gleichung " X 2 = B + 3 "als unser Kontext beides X Und B sind in diesem Zusammenhang frei.

Wenn der Kontext im Beispiel nur die zweite Zeile ist, wird die X In X 2 ist jetzt gebunden -- nämlich die Formulierung "Lösung für X " bindet es in dem Sinne, dass es uns sagt, was der Sinn dieser Variablen ist. (Es macht keinen Sinn zu fragen "macht X 2 = B + 3 eine Lösung haben für X Wenn X = 2 ?", weil das Sprechen über eine "Lösung für X “ geht davon aus X wir sind frei, den Wert zu variieren X -- deshalb " Lösung für X " bindet die Variable). Aber B ist immer noch frei, wenn diese Zeile unser Kontext ist.

Wenn das gesamte Beispiel unser Kontext ist, sind beide Variablen in X 2 = B + 3 gebunden sind.

Anders gesagt: Die eigentliche Frage ist nicht , ob ein Vorkommen einer Variablen gebunden ist, sondern wo sie gebunden ist – und insbesondere, ob die Bindung in einem bestimmten Kontext erfolgt, an dem wir interessiert sind.

Identitäten wie z ( X + 1 ) 2 = X 2 + 2 X + 1 sind ein interessanter Fall.

Genau genommen ist die Frage „ist ( X + 1 ) 2 die gleiche Nummer wie X 2 + 2 X + 1 ?" bekommt vorher keine Antwort X ist eine Zahl, mit der wir die beiden Seiten berechnen und vergleichen können. Wir wissen jedoch, dass, wenn wir eine Antwort erhalten, diese Antwort sicher „Ja“ lautet.

Wenn wir tatsächliche Berechnungen durchführen, ist die Erwartung immer, dass jede Variable irgendwann an etwas gebunden sein wird, wenn wir weit genug nach dem Kontext suchen – wenn nichts anderes, dann kommt das gesamte Buch, in dem wir den Text finden, immer mit einer impliziten Konvention, die dies enthält Jede Variable, die nicht explizit gebunden ist, kann einen beliebigen Wert haben, und was das Buch über diese Variablen behauptet, soll wahr sein, egal welchen tatsächlichen Wert wir ihnen geben. Und diese Konvention selbst gilt dann als Bindung für die Variable. (In der Praxis gilt diese Konvention fast immer wirklich für kleinere Textstücke als ein ganzes Buch: Kapitel, Abschnitte, einzelne Beweise oder Absätze).

Angesichts der Tatsache, dass wir die erwarten X In ( X + 1 ) 2 = X 2 + 2 X + 1 irgendwo gebunden ist , ist es diese Erwartung, die es uns erlaubt, das Ganze auf "wahr" umzuschreiben - weil es wahr sein wird , wenn wir das Umschreiben im breitestmöglichen Kontext betrachten.

  1. Nein, die Gleichung X + 2 = 5 nicht bindend verstanden werden X . es hat keine klare Bedeutung für sich. Der Satz „Lass X die einzigartige echte Lösung sein X + 2 = 5 ” ist eine faire Bindung der Variablen X , obwohl. Sie haben eine Variable gebunden, wenn es sinnvoll ist, dann etwas zu sagen wie „insbesondere dann X ≠ 4 .“

Nichts davon ist zu eng mit dem Hauptvorkommen einer Gleichung wie verbunden X + 2 = 5 in Mathematikkursen der Mittel- und Oberstufe, wo das Ziel im Allgemeinen darin besteht, einen solchen zu finden X , das heißt, geben Sie es in einer expliziteren Form an. Sie können sich aber vorstellen, dass in diesem Zusammenhang, wenn auch oft nur implizit, so etwas gesagt wird wie „Lass X so sein X + 3 = 5. Was sind die möglichen Werte von X ?” Der Algebrastudent fährt dann mit Manipulationen fort, die von abhängen X eine bestimmte Zahl darstellt, was es bedeutet, eine gebundene Variable zu sein.

  1. Die Bedeutung von „eine Variable binden“ impliziert, dass „Let X = 2 “ bindet X . Eine Variable zu binden bedeutet, sie auf einen Wert zu setzen. Ich würde also nicht sagen, dass es eine Frage der Konvention ist, außer in dem Maße, in dem die Bedeutung einer Buchstabenfolge eine Frage der Konvention ist. Ob dieser variable Bindungssatz eine Aussage ist, sollten Sie selbst entscheiden können, indem Sie sich daran erinnern, dass eine Aussage ein Satz ist, der entweder wahr oder falsch ist.

  2. Alles, was hier passiert, ist, dass wir oft Identitäten angeben, wobei der universelle Quantifizierer implizit bleibt. Sie können jede Verwirrung in dieser Angelegenheit klären, indem Sie den impliziten Quantor wieder einsetzen. Machen Sie sich keine Gedanken darüber, was es bedeutet, wenn eine Aussage, die eine freie Variable enthält, „wahr“ ist.

Vielen Dank für die Klarstellung, Kevin. Ist es möglich, wenn Sie bitte auch die Fragen 2 und 3 beantworten?
Okay, das ergibt Sinn, danke. Ich glaube nicht, dass "lass X = 2 " ist eine Anweisung, weil sie einfach definiert, was die Variable ist X bedeutet, anstatt eine Behauptung aufzustellen. Tut mir leid, Sie zu stören, aber ich denke, es gibt immer noch "Randfälle", die ich klären muss: Angenommen, wir schreiben "let X erfüllen X 2 = 9 ". Stellt dies eine Bindung der Variablen dar X , da die obige Gleichung zwei reelle Lösungen hat?

  1. OP: Ich denke, es gibt noch einen "Randfall", den ich klären muss: Angenommen, wir schreiben "let X erfüllen X 2 = 9 ". Stellt dies eine Bindung der Variablen dar X , vorausgesetzt, dass die obige Gleichung zwei reelle Lösungen hat?

    "Lassen X erfüllen X 2 = 9 “, dh „lassen X ∈ { − 3 , 3 } “ erklärt X sei ein willkürliches Element von { − 3 , 3 } , also ja X wird sicherlich gebunden. Im Kontext eines Beweises bedeutet dies formal übersetzt

    ∀ X ( X ∈ { − 3 , 3 } ⟹ … ) ,
    oder, etwas weniger formell,
    ∀ X ∈ { − 3 , 3 } … .

  2. Diese beiden Antworten, die ich kürzlich geschrieben habe – und der darin enthaltene Link english.stackexchange – beziehen sich auf Ihre verschiedenen Anfragen und ergänzen die anderen Antworten auf dieser Seite: offene vs. geschlossene Formeln und wie man „let“ interpretiert .

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