Anzahl der Ziffern in 8n8n8^n zur Basis 666

Question

Anzahl der Ziffern in 8n8n8^n zur Basis 666

Mathematik
Wettbewerb-Mathematik
Teilbarkeit
Zahlentheorie

Umesh Shankar

Lassen $d(n)$ sei die Anzahl der Ziffern, wenn $8^n$ wird in Basis geschrieben $6$ . Finden Sie den Ausdruck in geschlossener Form für $d(n)$ .Ich habe auf wenige Zahlen getestet:

8^{1} = 12

$8^1=12$

8^{2} = 144

$8^2=144$

8^{3} = 2212

$8^3=2212$ Also ich habe das gespürt

d (n) = n

$d(n)=n$ . Aber um es formal zu beweisen, habe ich es mit Induktion versucht. Lassen

d (n) = n

$d(n)=n$ , dann haben wir

8^{N} = A_{0} A_{1} A_{2} . . . . A_{N - 1}, A_{ich} \in {0, 1, 2, 3, 4, 5}, A_{0} \neq 0

$8^n=a_0a_1a_2....a_{n-1}, \: a_i \in \left\{0,1,2,3,4,5\right\}, \:a_0 \ne 0$ Jetzt haben wir

8^{N + 1} = 8^{N} \times 12

$8^{n+1}=8^n \times 12$ Ich stecke hier fest?

Adam Rubinson

Du meinst, du denkst das

d (n) = n + 1

$d(n)=n+1$ ? Das stimmt nicht, da

8^{20}

$8^{20}$ ist sicherlich größer als

6^{21}

$6^{21}$ .

zwim

Hinweis; was ist die anzahl der ziffern von

6^{n}

$6^n$ was ist dann die anzahl der ziffern von

x

$x$ für

6^{n} \leq x < 6^{n + 1}

$6^n\le x<6^{n+1}$ ? Können Sie sehen, wie man verwendet

\log_{6} (x)

$\log_6(x)$ ?

Flohblut

Das ist nicht die Antwort und es wird nicht funktionieren.

8 = 6 + 2

$8 = 6 + 2$ So

8^{n} = (6 + 2)^{n} = 6^{n} + . . . .

$8^n = (6 + 2)^n = 6^n + ....$ niedrigere Laufzeiten. Jetzt für kleine Werte von

n

$n$ diese niedrigeren Terme sind kleiner als

6^{n}

$6^n$ aber schließlich werden sie wachsen und sie nehmen. ... oder wie Sie es ausdrücken

8^{n + 1} = 8^{n} \times 12 = 8^{n} \times 6 + 2 \times 8^{n}

$8^{n+1} = 8^n\times 12=8^n\times 6 + 2\times 8^n$ . Wenn

8^{n}

$8^n$ hat

K

$K$ Ziffern dann

8^{n} \times 6

$8^n\times 6$ werde haben

K + 1

$K+1$ aber hinzufügen

2 \times 8^{n}

$2\times 8^n$ kann Sie schließlich zwingen, in at zu tragen

K + 2

$K+2$ Ort.

Flohblut

Dies entspricht

12^{12} = 8, 916, 100, 448, 256

$12^{12} = 8,916,100,448,256$ hat dreizehn Stellen zur Basis zehn. aber wenn wir das multiplizieren mit

12

$12$ wir haben

12^{13} = 106, 993, 205, 379, 072

$12^{13}=106,993,205,379,072$ hat fünfzehn Stellen. Beachten Sie die führende Ziffer von

8^{n}

$8^n$ schleicht sich immer weiter an. Irgendwann wird es

5

$5$ und dann ....

Antworten (3)

Anzahl der Ziffern in 8n8n8^n zur Basis 666

Du meinst, du denkst das $d(n)=n+1$ ? Das stimmt nicht, da $8^{20}$ ist sicherlich größer als $6^{21}$ .
Hinweis; was ist die anzahl der ziffern von $6^n$ was ist dann die anzahl der ziffern von $x$ für $6^n\le x<6^{n+1}$ ? Können Sie sehen, wie man verwendet $\log_6(x)$ ?
Das ist nicht die Antwort und es wird nicht funktionieren. $8 = 6 + 2$ So $8^n = (6 + 2)^n = 6^n + ....$ niedrigere Laufzeiten. Jetzt für kleine Werte von $n$ diese niedrigeren Terme sind kleiner als $6^n$ aber schließlich werden sie wachsen und sie nehmen. ... oder wie Sie es ausdrücken $8^{n+1} = 8^n\times 12=8^n\times 6 + 2\times 8^n$ . Wenn $8^n$ hat $K$ Ziffern dann $8^n\times 6$ werde haben $K+1$ aber hinzufügen $2\times 8^n$ kann Sie schließlich zwingen, in at zu tragen $K+2$ Ort.
Dies entspricht $12^{12} = 8,916,100,448,256$ hat dreizehn Stellen zur Basis zehn. aber wenn wir das multiplizieren mit $12$ wir haben $12^{13}=106,993,205,379,072$ hat fünfzehn Stellen. Beachten Sie die führende Ziffer von $8^n$ schleicht sich immer weiter an. Irgendwann wird es $5$ und dann ....

Asinomas · Answer 1

die Anzahl der Ziffern einer ganzen Zahl $a$ in der Basis $b$ Ist $\lfloor\log_b(a)\rfloor+1$ (weil es im Intervall konstant ist $[b^k,b^{k+1})$ und springt vorbei $1$ bei Werten des Formulars $b^k$ ).

Daher wollen wir $\lfloor\log_6(8^n)\rfloor+1= \lfloor n\log_6(8)\rfloor +1 = \lfloor n \frac{\ln(8)}{\ln{6}}\rfloor+1$

wir haben $\frac{\ln{8}}{\ln{6}}\approx 1.16055842$

Adam Rubinson · Answer 2

Hinweis: $8^n = 6^{(\log_6{8})n} = 6^{1.1605\ldots n}.$

Also zum Beispiel $8^{100} = 6^{116.05...},\$ also diese Nummer hat $117$ Ziffern Basis $6.$

Flohblut · Answer 3

$d(n) = n+1$ funktioniert nur für kleine Werte von $n$ . Beachten Sie, dass die führende Ziffer nach oben kriecht, schließlich haben Sie eine $8^k = 5xxxx...x$ mit $k+1$ Ziffern aber $8^{k+1} = 1yxxxx....x$ mit $k + 3$ Ziffern.

In der Tat $8^6 = 5341344$ mit $7$ Ziffern und $8^7 = 112541012$ mit $9$ Ziffern.

=====

Du kannst rückwärts denken . Wenn $8^n$ hat $K$ Ziffern dann $8^n \ge {1\underbrace{000.....0}_K}_{base\ 6} =6^{K-1}$ Und $8^n \le {\underbrace{5555.....5}_K}_{base\ 6}=6^{K}-1$ So $6^{K-1} \le 8^n < 6^K$ .

Also auflösen $K$

$\log_6 6^{K-1} \le \log_68^n < \log_6 6^K$

$K-1 \le n\cdot \log_6 8 < K$

$K-1 = \lfloor n\cdot \log_6 8 \rfloor$

$K = \lfloor n\cdot \log_6 8 \rfloor

Anzahl der Ziffern in 8n8n8^n zur Basis 666

Umesh Shankar

Adam Rubinson

zwim

Flohblut

Flohblut

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Asinomas

Adam Rubinson

Flohblut

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