Aufgabe 5.20 aus John Lees ISM. Jede offene Teilmenge einer eingetauchten Untermannigfaltigkeit SSS in der Unterraumtopologie ist auch in der Untermannigfaltigkeitstopologie offen

Dies ist Übung 5.20 aus John Lees ISM. Der Text sagt, dass dies nur eine Beobachtung ist, aber ich habe Probleme, diese Tatsache zu beweisen.

Vermuten M ist eine glatte Mannigfaltigkeit und S ⊂ M ist eine eingetauchte Untermannigfaltigkeit. Zeigen Sie, dass jede Teilmenge von S was in der Unterraumtopologie offen ist, ist auch in seiner gegebenen Untermannigfaltigkeitstopologie offen; und die Umkehrung gilt genau dann, wenn S ist eingebettet.

S ⊂ M eingetauchter Unterverteiler bedeutet das S ist mit einer Topologie (nennen wir es die Untermannigfaltigkeitstopologie) und einer glatten Struktur ausgestattet, in der die Inklusionskarte enthalten ist S ↪ M ist ein sanftes Eintauchen.

Da die Unterraumtopologie die gröbste Topologie ist, in der die Einschlusskarte stetig ist und glatte Karten stetig sind, folgt die erste Tatsache. Ich bin mir jedoch nicht sicher, wie ich zeigen soll, dass die Untermannigfaltigkeitstopologie nur dann in der Unterraumtopologie enthalten ist, wenn S ist eingebettet.

Sobald Sie gezeigt haben, dass die Funktion eine Bijektion ist, ist die Übung einfach, da die Immersion gemäß Hypothese offene Mengen in offene Mengen abbildet und daher ihre Umkehrung stetig ist.

Antworten (1)

S ist genau dann eine eingebettete Untermannigfaltigkeit, wenn die Inklusion S ↪ M ist eine glatte Einbettung, aber das setzen wir schon voraus S ↪ M ist ein sanftes Eintauchen, also folgt daraus S ist eine eingebettete Untermannigfaltigkeit (in unserem gegebenen Szenario), wenn und nur wenn S ↪ M ist eine topologische Einbettung.

Okay, wenn Sie die Definition ein wenig aufschlüsseln, werden Sie das sehen S ↪ M ist eine topologische Einbettung genau dann, wenn die gegebene Untermannigfaltigkeitstopologie an S ist die gleiche wie die Unterraumtopologie, aus der sie stammt M . Aber wir befinden uns in einer Situation, in der Sie bereits bewiesen haben, dass die Untermannigfaltigkeitstopologie feiner ist als die Unterraumtopologie, also stimmen die beiden Topologien genau dann überein, wenn die Unterraumtopologie feiner als die Untermannigfaltigkeitstopologie ist

Aufgabe 5.20 aus John Lees ISM. Jede offene Teilmenge einer eingetauchten Untermannigfaltigkeit SSS in der Unterraumtopologie ist auch in der Untermannigfaltigkeitstopologie offen
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