Ausdrücken der Aussagen in formaler logischer Notation

Deine Lösung für (a) ist richtig. Beachten Sie, dass gemäß dieser Definition jede nichtnegative ganze Zahl ($0$enthalten) ist ein Teiler von$0$, Und$0$kein Teiler einer anderen nichtnegativen Zahl ist.

Einige Lehrbücher schließen aus $0$aus der Definition von Divisor (siehe hier für eine kurze Begründung), in diesem Fall die korrekte Formalisierung von "$m$ist ein Teiler von$n$" wäre:

(A')$\ \text{DIV}(m,n) \ : \quad m \neq 0 \land n \neq 0 \land \exists \, k \, (m \cdot k = n)$

Die Wahl zwischen (a) und (a') hängt von der Definition des Divisors ab, die in Ihrem Lehrbuch oder Kurs verwendet wird. Die Art und Weise, wie Sie formalisieren$\text{DIV}(m,n)$wirkt sich auf die Art und Weise aus, wie Sie die anderen Anweisungen formalisieren.

Beachten Sie, dass$m \neq n$ist nur eine Abkürzung für$\lnot (m = n)$, damit es in Ihrer Sprache ausgedrückt werden kann.

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Eine nichtnegative Ganzzahl$n$ist prim, wenn ihre einzigen Teiler sind$1$Und$n$und es ist größer als$1$(siehe hier für eine kurze Diskussion über die Vorteile des Ausschließens$1$aus Primzahlen). Seit$0$hat viele andere Teiler als$1$Und$0$, es ist äquivalent zu sagen, dass eine nichtnegative ganze Zahl$n$ist prim, wenn ihre einzigen Teiler sind$1$Und$n$und es unterscheidet sich von$1$. Ihre Antwort ist also falsch, die korrekte Formalisierung von "$n$ist prim" ist:

(B)$\ \text{PRIME}(n) \ : \quad n \neq 1 \land \forall k \, (\text{DIV}(k,n) \to (k=1 \lor k = n))$

Die obige Formalisierung (b) geht davon aus, dass die Definition von Divisor beinhaltet$0$, dh$\text{DIV}(m,n)$ist wie in Ihrer Antwort (a) definiert. Wenn Ihre Definition des Divisors ausschließt$0$, dh$\text{DIV}(m,n)$wie in (a') definiert ist, dann$\text{DIV}(k,0)$ist für alle falsch$k$und so$\forall k \, (\text{DIV}(k,0) \to (k=1 \lor k = 0))$ist vage wahr , daher ist es notwendig, explizit auszuschließen$0$aus der Definition der Primzahl. Daher, wenn$\text{DIV}(m,n)$wie in (a') definiert ist, dann ist die korrekte Formalisierung von "$n$ist prim" ist:

(B')$\ \text{PRIME}(n) \ : \quad n \neq 0 \land n \neq 1 \land \forall k \, (\text{DIV}(k,n) \to (k=1 \lor k = n))$

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Ihre Lösung für (c) ist richtig, wenn Sie (a) als Definition von verwenden$\text{DIV}(m,n)$.

Beachten Sie, dass$0$ist keine Potenz irgendeiner Primzahl.

Wenn Ihre Definition des Divisors ausschließt$0$, dh$\text{DIV}(m,n)$wie in (a') definiert ist, dann$\text{DIV}(k,0)$ist für alle falsch$k$und so$\forall k \, (\text{DIV}(k,0) \to (\text{DIV}(m,k) \lor k = 1))$ist vage wahr , daher ist es notwendig, explizit auszuschließen$0$aus der Definition der Potenz der Primzahl. Daher, wenn$\text{DIV}(m,n)$wie in (a') definiert ist, dann ist die korrekte Formalisierung von "$n$ist Potenz einer Primzahl" ist:

(C')$\ \text{POWER_PRIME}(n) \ :$

$$\quad n \neq 0 \land \exists m \,\Big(\text{PRIME}(m) \land \forall k \, \big(\text{DIV}(k, n) \to (\text{DIV}(m, k) \vee k=1) \big) \Big).$$