Am Ende habe ich eine Lösung von Christer Swahn aus seinem Blog verwendet: http://mmoarch.blogspot.se/2012/05/computing-space-travel.html

Die Trajektorie wird angenähert und dann unter Verwendung der Bisektionsmethode optimiert. Ein nahezu perfektes Ergebnis wird normalerweise nach 10 Iterationen erreicht. Siehe vollständige Lösung (Java-Implementierung) unter: http://mmoarch.blogspot.se/2012/05/computing-space-travel-implementation.html

Problem. Auf Masseobjekt$m$liegt bei$\vec{r}_{A}=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}$mit Geschwindigkeit$\vec{v}_{A}=\begin{pmatrix}v_{A} & 0 & 0\end{pmatrix}$und muss Punkt erreichen$\vec{r}_{B}=\begin{pmatrix}d_{x} & d_{y} & 0\end{pmatrix}$mit Geschwindigkeit$\vec{v}_{B}=\begin{pmatrix}v_{B}\cos\theta & v_{B}\sin\theta & 0\end{pmatrix}$in der minimalen Zeitdauer, auf die die Beschleunigungsgröße begrenzt ist$\left|\vec{a}\right|\leq g$.

Gehen wir von einer allgemeinen Lösung aus und versuchen diese am Ende zu optimieren. Ich schlage einen fünfstufigen Prozess vor (inspiriert vom Rennwagenfahren). Ich ändere die Notation, um die Schritte besser verfolgen zu können. Auch der Richtungsvektor bei A ist$\vec{e}_{A}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}$und bei B ist$\vec{e}_{B}=\begin{pmatrix}\cos\theta & \sin\theta & 0\end{pmatrix}$. Auch die Normalenvektoren sind$\vec{n}_{A}=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\end{pmatrix}$Und$\vec{n}_{B}=\begin{pmatrix}-\sin\theta & \cos\theta & 0\end{pmatrix}$, Wo$\theta$ist der erforderliche Drehwinkel zwischen A und B . Diese finden Sie unter$\cos\theta=\pm\frac{\vec{v}_{A}\cdot\vec{v}_{B}}{\left|\vec{v}_{A}\right|\left|\vec{v}_{B}\right|}$. Um das Zeichen zu finden, verwenden Sie${\rm sign}\left(\hat{k}\cdot\left(\vec{v}_{A}\times\vec{v}_{B}\right)\right)$um zu sehen, ob Sie nach links oder rechts abbiegen müssen.

1. Beschleunigen Sie auf eine maximale Geschwindigkeit$v_{1}$auf einer geraden Linie vom Startort$\vec{r}_{0}=\vec{r}_{A}$und Geschwindigkeit$\vec{v}_{0}=v_{A}\vec{e}_{A}$. Die Endgeschwindigkeit ist$\vec{v}_{1}=v_{1}\vec{e}_{A}$, Stellung$\vec{r}_{1}=\vec{r}_{A}+\frac{v_{1}^{2}-v_{A}^{2}}{2g}\vec{e}_{A}$, und Zeit$t_{1}=\frac{v_{1}-v_{A}}{g}$.

2. Verzögern Sie auf eine gewünschte Kurvengeschwindigkeit$v_{C}$auf einer geraden Linie. Die Endgeschwindigkeit ist$\vec{v}_{2}=v_{C}\vec{e}_{A}$, Stellung$\vec{r}_{2}=\vec{r}_{1}+\frac{v_{1}^{2}-v_{C}^{2}}{2g}\vec{e}_{A}$, und Zeit$t_{2}=t_{1}+\frac{v_{1}-v_{C}}{g}$.

3. Drehen Sie, um Ihre Geschwindigkeit an die Endgeschwindigkeit anzupassen$\vec{v}_{B}$und entlang der geraden Linie positionieren, die durch den endgültigen Standort definiert ist$\vec{r}_{B}$und Geschwindigkeitsrichtung. Der Kurvenradius ist$r=\frac{v_{C}^{2}}{g}{\rm sign}(\theta)$. Die Endgeschwindigkeit ist$\vec{v}_{3}=v_{C}\vec{e}_{B}$, Stellung ist$\vec{r}_{3}=\vec{r}_{2}+\left(\vec{n}_{A}-\vec{n}_{B}\right)\frac{v_{C}^{2}}{g}{\rm sign}(\theta)$, und Zeit$t_{3}=t_{2}+\frac{v_{C}}{g}\theta$.

4. Beschleunigen Sie auf eine maximale Geschwindigkeit$v_{4}$auf einer geraden Linie. Die Endgeschwindigkeit ist$\vec{v}_{4}=v_{4}\vec{e}_{B}$, Stellung$\vec{r}_{4}=\vec{r}_{3}+\frac{v_{4}^{2}-v_{C}^{2}}{2g}\vec{e}_{B}$, und Zeit$t_{4}=t_{3}+\frac{v_{4}-v_{C}}{g}$.

5. Bremsen Sie bis zur endgültigen Position ab$\vec{r}_{B}$und Geschwindigkeit$\vec{v}_{B}=v_{B}\vec{e}_{B}$auf einer geraden Linie. Die Endgeschwindigkeit ist$\vec{v}_{B}$, Stellung$\vec{r}_{B}=\vec{r}_{4}+\frac{v_{4}^{2}-v_{B}^{2}}{2g}\vec{e}_{B}$, und Zeit$t_{B}=t_{4}+\frac{v_{4}-v_{B}}{g}$.

Die Gesamtzeit ist

$$t=\frac{1}{g}\left(2v_{1}+2v_{4}+\left(\theta-2\right)v_{C}\right)-\frac{1}{g}\left(v_{A}+v_{B}\right)$$ Wo $v_{1}$, $v_{4}$Und $v_{C}$sind unbekannt. Endstellung ist $$d_{x} = \frac{2v_{1}^{2}-v_{A}^{2}-v_{C}^{2}}{2g}+\frac{2v_{4}^{2}-v_{B}^{2}-v_{C}^{2}}{2g}\cos\theta+\frac{v_{C}^{2}}{g}\left|\sin\theta\right|$$ $$d_{y}=\frac{2v_{4}^{2}-v_{B}^{2}-v_{C}^{2}}{2g}\sin\theta+\frac{v_{C}^{2}}{g}\left(1-\cos\theta\right){\rm sign}\theta$$

Die letzte Position wird verwendet, um Geschwindigkeiten zu finden$v_{1}$Und$v_{4}$

$$v_{1}=\sqrt{\frac{v_{A}^{2}}{2}+\frac{v_{C}^{2}}{2}+\frac{g\left(d_{x}\sin\theta-d_{y}\cos\theta\right)}{\sin\theta}-v_{C}^{2}\left|\tan\frac{\theta}{2}\right|}$$ $$v_{4}=\sqrt{\frac{v_{B}^{2}}{2}+\frac{v_{C}^{2}}{2}+\frac{g\; d_{y}}{\sin\theta}-v_{C}^{2}\left|\tan\frac{\theta}{2}\right|}$$

Am Ende ist die Zeit eine Funktion von$v_{C}$nur, aber es ist nicht einfach, diese Funktion zu optimieren. Überlegen Sie, das Folgende zu lösen

$$\frac{{\rm d} t}{{\rm d} v_C} = \frac{1}{g} \left( 2 \frac{{\rm d} v_1}{{\rm d} v_C} + 2 \frac{{\rm d} v_4}{{\rm d} v_C} + \theta-2 \right) = 0$$