Auswirkung der Transkonduktanz kleiner und großer Signale auf den Colpitts-Oszillator

Da ich keine Antworten auf die Frage erhalten habe (verständlicherweise) und ich zwischenzeitlich selbst etwas recherchiert habe, denke ich, dass es an der Zeit ist, etwas zurückzugeben und die Frage selbst zu beantworten. Ich kann nicht garantieren, dass es vollständig korrekt ist, aber es ist meine beste Vermutung darüber, was los ist.

Lassen Sie uns zuerst die einfachen aus dem Weg räumen. Ich fragte: Wo ist das Step-down-Verhältnis geblieben und warum ist Av = gm/Gm?

Die anfängliche Verstärkungsgleichung ist genau das: eine Verstärkungsgleichung. Es heißt, die Verstärkung über den Verstärker (gm*RL) in Kombination mit der Abwärtsbewegung der Kondensatoren (1/32) ergibt eine Gesamtschleifenverstärkung von 3,2. Andererseits geht 156 mV * Gm * RL davon aus, dass die Schleifenverstärkung 1 ist(da Gm*RL = 32 und die Kondensatoren dies um 32 nach unten stufen, um eine Gesamtverstärkung von 1 zu ergeben), was eine Barkhausen-Bedingung für anhaltende Oszillation ist. Der Grund, warum Av = gm/Gm ist, liegt auch darin, dass der Oszillator von einem Verstärkungszustand von 3,2 auf 1 gegangen ist. Somit hat sich die Transkonduktanz oder der Strom durch den Verstärker ebenfalls um 3,2 verringert. Das Ziel ist es, den Transkonduktanzpegel zu finden, der das System von einer anfänglichen Verstärkung von 3,2 auf 1 bringt. Dann ist die Berechnung einfach, es ist einfach 3,2 mal 1/g = 3,2 * 26 = 83 oder so ungefähr. Also ist Gm, wenn der Oszillator eine stationäre Verstärkung von 1 erreicht hat, 1/83.

Jetzt das Schwierige! Wie hat er 156mV berechnet? Sie wurde in der Tabelle als Eingangsspannung angegeben, die dem gm/Gm-Faktor von 3,2 entspricht, aber wie wird sie berechnet?

Alles, was in Bezug auf Eingangssignalpegel (bei der Grundfrequenz) und Transkonduktanz gesagt wurde, ist relevant: Je größer das Eingangssignal, desto größer der Widerstand (der Strom durch das Gerät nimmt ab). Dieser Widerstand ist für die stationäre Amplitude des Oszillators von entscheidender Bedeutung. Er bietet eine Art negative Rückkopplung, die die positive Rückkopplung einschränkt und verhindert, dass der Oszillator explodiert oder auf die Versorgungsschienen trifft und verzerrt. Diese Abnahme der Transkonduktanz des Transistors ist ein Merkmal der zugrunde liegenden Physik und wird durch die folgende Gleichung beschrieben, wobei insbesondere der AC-Beitrag hervorgehoben wird.

Mit Vin/Vt = x wird der hervorgehobene Abschnitt einfach:

Die Verwendung von scipy zur Visualisierung dieser Funktion im Zeitverlauf zeigt die Art von „Peakiness“, von der Ron spricht, wenn die Eingangsspannung hoch ist (156 mV in diesem Diagramm).

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

T = np.linspace(0, 10000, 1000)
C = np.exp(156e-03/26e-03*np.cos(2*np.pi*1e+06*T))
plt.xlabel("Time");
plt.ylabel("exp(Vs/Vt*Cos(wt)");
plt.plot(T, C);
plt.show();

Aber wir sind hier noch nicht fertig. Was wir wollen, ist die Grundfrequenz aus dieser Funktion zu extrahieren und diesen Grundfrequenzstrom in Form der Eingangsspannung auszudrücken. Dazu erweitern wir e^(x cos(wt)) um eine Fourier-Entwicklung und gelangen zu folgendem Ausdruck:

Der In-Koeffizient ist eine modifizierte Bessel-Funktion. Für modifizierte Bessel-Funktionen gilt: „Bessel-Funktionen können auch ein imaginäres Argument haben. In diesem Fall werden sie zu den modifizierten Funktionen I und K. Diese Substitution ändert sie von oszillierend zu monoton, wie im analogen Fall der trigonometrischen Funktionen.“ Die aufgetragenen Funktionen erscheinen also nicht als Sinuskurven, aber sie weisen diese abklingende Natur auf (die letztendlich den Abfall der Transkonduktanz beschreibt).

Jetzt sind wir fast da, der Kollektorstrom wird angenähert durch:

Und schließlich haben wir für Gm neu arrangiert:

Was, wie Sie sehen können, ein echtes I / V ist, und wir erhalten:

Hier ist der Scipy-Code, um es selbst auszuprobieren, und er ist praktisch, wenn Sie andere Eingangsspannungen von verschiedenen Gms berechnen müssen.

import numpy as np
from scipy.misc import derivative
from scipy import integrate
import matplotlib.pyplot as plt


def calcBessel(vs,order):
    f = lambda phi,x,n : np.exp(x*np.cos(phi))*np.cos(n*phi)
    b,err = integrate.quad(f, -np.pi, np.pi, args=(vs, order))
    return (1/(2*np.pi))*b;

def calcGm(x, gm):
    b0 = calcBessel(x,0)
    b1 = calcBessel(x,1)
    return gm * ((2*b1)/(x*b0));

def calcGmArray(VS, gm):
    r = np.zeros_like(VS)
    for i,val in enumerate(VS):
        r[i]=calcGm(val/26e-03, gm);
    return r;

VS = np.arange(0, 1, 0.001)
plt.xlabel("Vbe (Steady State Oscillator Input) in Volts");
plt.ylabel("Gm (Large Signal Transconductance) in mhos");
plt.plot(VS, calcGmArray(VS, 1/26));
plt.show();

Puh! Ich denke das reicht erstmal.