Bedeutet die durchschnittliche Lebensdauer überhaupt etwas?

Herzlichen Glückwunsch, Sie haben das Exponentialgesetz selbst hergeleitet, man lernt eine Menge über Wissenschaft, die so arbeitet. Nun zu deiner letzten Frage:

Wenn ich eine Gruppe von Atomen hätte, die eine „durchschnittliche Lebensdauer“ von beispielsweise 5 Sekunden haben, was ist nach Ablauf von 5 Sekunden die „durchschnittliche Lebensdauer“ der verbleibenden Atome? Ich glaube nicht, dass ich willkürlich eine Referenzzeit wählen kann, um mit dem Ticken der verbleibenden Zeit der Atome zu beginnen. Bedeutet das zu jedem Zeitpunkt, dass ihre „durchschnittliche Lebensdauer“ oder erwartete Lebensdauer immer eine Konstante ist und niemals wirklich abnimmt? Zeit vergeht?

Ja, die durchschnittliche Lebensdauer ist tatsächlich konstant. Und die von Ihnen abgeleitete Exponentialverteilung ist die eindeutige Lebensdauerverteilung mit dieser Eigenschaft. Eine andere Art, dies auszudrücken, ist, dass das zerfallende Teilchen gedächtnislos ist : es kodiert sein "Alter" nicht: Es gibt nichts innerhalb des Teilchens, das sagt: "Ich habe lange gelebt, jetzt ist es Zeit zu sterben". Eine weitere Sichtweise dazu – eher eine diskrete als eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung – ist die geometrische Verteilung der Anzahl der Würfe, bevor eine Münze Kopf zeigt, und die Beobachtung, dass eine Münze kein Gedächtnis hat , das dem berühmten Irrtum des Spielers entgegenwirkt.

Um diese Einzigartigkeit zu verstehen, codieren wir die Bedingung der Gedächtnislosigkeit in das grundlegende Wahrscheinlichkeitsgesetz

$$p(A\cap B) = p(A) \, p(B|A)$$

Angenommen, nach der Zeit$\delta$Sie beobachten, dass Ihr Teilchen nicht zerfallen ist (event$A$). Wenn$f(t)$die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Lebensdauern ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Teilchen mindestens so lange gedauert hat, dh die Wahrscheinlichkeit, dass es im Zeitintervall nicht zerfällt$[0,\,\delta]$ist:

$$p(A) = 1-\int_0^\delta f(u)du$$

Die A-priori- Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion, dass das Teilchen bis zum Ende der Zeit bestehen bleibt$t+\delta$und dann im Zeitintervall abklingen$dt$(Veranstaltung$B$) ist

$$p(B\cap A) = f(t+\delta) dt$$ .

Das sind Veranstaltungen$B$und$A$zusammen beobachtet, was dasselbe ist wie einfach alt$B$da das Teilchen nicht ewig dauern kann$t + \delta$ohne zu leben$\delta$Erste! Daher ist die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

$$p(B|A) = \frac{f(t+\delta)\,dt}{1-\int_0^\delta f(u)du}$$

Diese muss aber gleich der unbedingten Wahrscheinlichkeitsdichte sein, dass das Teilchen eine weitere Zeit überdauert$t$gemessen von jeder Zeit, durch Annahme von Gedächtnislosigkeit. Somit müssen wir haben:

$$\left(1 - \int_0^\delta f(u)du\right)\,f(t) = f(t+\delta),\;\forall \delta>0$$

Vermietung$\delta\rightarrow 0$, erhalten wir die Differentialgleichung$f^\prime(t) = - f(0) f(t)$, dessen einzigartige Lösung ist$f(t) = \frac{1}{\tau}\exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)$. Sie können leicht überprüfen, ob diese Funktion die allgemeine Funktionsgleichung erfüllt$\left(1 - \int_0^\delta f(u)du\right)\,f(t) = f(t+\delta)$für alle$\delta > 0$auch.

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Als Achmetelis Antwortsagt, wahre Gedächtnislosigkeit ist mit einfachen Quantenmodellen eigentlich nicht vereinbar. Beispielsweise kann man die exponentielle Lebensdauer für einen angeregten Fluorophor aus einem einfachen Modell eines einsamen angeregten Fluorophors mit zwei Zuständen ableiten, der gleichermaßen an alle Moden des elektromagnetischen Feldes gekoppelt ist. Der Haken ist, dass die Ableitung darauf beruht, ein Integral über positive Energiefeldmoden durch ein Integral über alle Energien, sowohl positive als auch negative, zu approximieren. Dies ist natürlich unphysikalisch, aber eine hervorragende Annäherung, da nur Moden in der Nähe der Energielücke des Atoms mit zwei Zuständen angeregt werden: Das Fluorophor "versucht", alle Moden gleichermaßen anzuregen, aber destruktive Interferenz verhindert eine signifikante Kopplung an Moden mit stark unterschiedlicher Energie als die Differenz zwischen den Energien der Zustände auf beiden Seiten des Übergangs.

Ich zeige, wie diese Analyse in dieser Antwort hier und hier durchgeführt wird .

Die Linienbreiten sind im Vergleich zu den Frequenzen der betreffenden Photonen meist extrem schmal, daher finde ich es überraschend und ziemlich wunderbar, dass Ahkmeteli eine Arbeit zitiert, die experimentelle Beweise für die nicht konstante Lebensdauer liefert.

Khalfin zeigte vor etwa 60 Jahren, dass ein streng exponentieller Zerfall tatsächlich mit der Quantentheorie unvereinbar ist und dass es sowohl für sehr kleine als auch für sehr lange Zeiten winzige Abweichungen geben muss. Siehe die Details und Referenzen, sagen wir, in Nature vol. 335, p. 298 (22. September 1988). Es scheint auch eine experimentelle Bestätigung zu geben: http://dro.dur.ac.uk/4234/1/4234.pdf (PRL 96, 163601, 2006). Genau genommen kann die Lebensdauer also nicht konstant sein.

EDIT (28.04.2015): Der Beweis ist z. B. unter http://www.ias.ac.in/pramana/fm2001/QT4.pdf (Pramana - Journal of Physics, Bd. 56, S. 169 ) zu finden -178). Der Beweis verwendet die Tatsache, dass das Spektrum des Hamilton-Operators nach unten beschränkt ist, und das .Paley-Wiener-Theorem

Was ist die „durchschnittliche Lebensdauer“? Sie nehmen den Durchschnitt der Lebensdauern vieler identischer Atome, dh

$$T_{\text{avg}} = \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N} T_n$$

Dies ist eine Zufallsvariable, die von Ihrer Verteilung von abhängt$T_n$, was in Ihrem Fall die Exponentialfunktion ist:$p(T_n = t) = \alpha e^{-\alpha t}$wenn$t\ge 0$und sonst null. Wenn Sie das wissen, können Sie die Verteilung der "durchschnittlichen Lebensdauer" als berechnen

$$p(T_{\text{avg}}) = \int_0^\infty dt_1 \dots \int_0^\infty dt_N\ \delta\!\left(t - \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} t_n \right)\ \prod_{n=1}^{N}p(T_n = t_n)$$ $$= N\int_0^\infty dt_2 \dots \int_0^\infty dt_N\ p\!\left(T_1 = Nt-\sum_{n=2}^{N}t_n\right)\ \prod_{n=2}^{N}p(T_n = t_n)$$ Hier ist das Argument von $p(T_1 =\dots)$kann kleiner als Null werden, also müssen Sie die oberen integralen Grenzen abschneiden. $$\dots = N\int_0^{Nt}dt_2 \int_0^{Nt-t_2}dt_3 \dots \int_0^{Nt-\sum_{n=2}^{N-1}t_n}dt_N\ \alpha e^{-\alpha (Nt - \sum_{n=2}^{N} t_n)}\ \prod_{n=2}^{N} \alpha e^{-\alpha t_n}$$ $$=N\alpha^N e^{-\alpha Nt} \int_0^{Nt}dt_2 \int_0^{Nt-t_2}dt_3 \dots \int_0^{Nt-\sum_{n=2}^{N-1}t_n}dt_N\ 1$$ $$=N\alpha^N e^{-\alpha Nt} \int_0^{Nt}dt_2 \int_0^{Nt-t_2}dt_3 \dots \int_0^{Nt-\sum_{n=2}^{N-2}t_n}dt_{N-1}\ \left(Nt-\sum_{n=2}^{N-1}t_n\right)$$ $$=N\alpha^N e^{-\alpha Nt} \int_0^{Nt}dt_2 \int_0^{Nt-t_2}dt_3 \dots \int_0^{Nt-\sum_{n=2}^{N-3}t_n}dt_{N-2}\ \frac{1}{2}\left(Nt-\sum_{n=2}^{N-2}t_n\right)^2$$ $$\dots$$ $$=\frac{N}{(N-1)!}\alpha^N (Nt)^{N-1} e^{-\alpha Nt}$$

Für sehr groß$N$, wird dies zu einer Funktion mit sehr scharfer Spitze, und die Spitze ist dort, wo die Ableitung bzgl$t$wird Null:

$$T_{\text{avg}} = \frac{1}{\alpha} \frac{N}{N-1} \approx \frac{1}{\alpha}$$

Dies ist die durchschnittliche Lebensdauer Ihrer Isotope. Beachten Sie, dass dies der erwarteten Lebensdauer eines einzelnen Isotops entspricht:

$$t_{\text{expected}} = \int_0^\infty dt\ t\cdot p(T_1 = t) = \int_0^\infty dt\ t\alpha e^{-\alpha t} = \frac{1}{\alpha}$$

das hast du wohl gemeint. Die erwartete Lebensdauer eines Atoms ändert sich im Laufe der Zeit nicht. Stellen Sie sich vor, Sie erwarten eine Lebensdauer von 1 Minute, wenn Sie beginnen, ein einzelnes Atom zu beobachten. Welche weitere Lebensdauer erwarten Sie dann, wenn eine halbe Minute vergangen ist? Noch eine volle Minute. Das mag seltsam erscheinen, aber vergleichen Sie es mit anderen Glücksspielen.

Wenn Sie zum Beispiel eine Münze werfen und Kopf erscheint, sollten Sie nicht damit rechnen, dass die Münze beim nächsten Wurf Zahl zeigt. Sie sollten es nicht einmal für etwas wahrscheinlicher halten. Der zweite Wurf hat genau die gleichen Chancen wie der erste.

Das gleiche mit den Atomen. Es spielt keine Rolle, wann Sie beginnen, das Atom zu beobachten, es hat immer die gleiche erwartete Lebensdauer,$\frac{1}{\alpha}$, und es ändert sich nicht einmal, während du es beobachtest.

Sie haben Recht, die durchschnittliche Lebensdauer bleibt gleich. Im Kontext Ihres Beispiels, wenn Sie haben$N$Kerne zu einem beliebigen Zeitpunkt$t_0$und wenn$T$ist die Halbwertszeit des Kerns dann zur Zeit$t_0 + T$, wäre die Hälfte von ihnen verfallen.

Dass$T$unabhängig davon ist, wann Sie mit der Zeitmessung begonnen haben, ist die Schlüsselbeobachtung, um die Kohlenstoffdatierung zu einem zuverlässigen Werkzeug zur Schätzung des Alters von Fossilien zu machen.