Bei welchen Koordinatensystemen kann sich die Größe der Basisvektoren mit der Position ändern?

Die einzige orthonormale Koordinatenbasis ist die kartesische Koordinatenbasis. Die Basisvektoren für die zB Polarkoordinatenbasis sind orthogonal, aber nicht normiert.

Das bedeutet nicht, dass man die polaren Grundvektoren nicht normalisieren kann, um die polare Einheitsbasis zu erhalten , aber eine solche Basis ist keine Koordinatenbasis .

Für die kartesische Koordinatenbasis sind die Basisvektoren orthonormal:

$$\vec e_x \cdot \vec e_x = g_{xx} = 1$$

$$\vec e_y \cdot \vec e_y = g_{yy} =1$$

$$\vec e_x \cdot \vec e_y = g_{xy} = g_{yx}= 0$$

und das Linienelement ist

$$dl^2 = g_{xx}dx^2 + g_{yy}dy^2 + 2g_{xy}dxdy = dx^2 + dy^2$$

Jetzt werden Polarkoordinaten durch definiert

$$r = \sqrt{x^2 + y^2}$$

$$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$$

daher

$$x = r \cos \theta$$

$$y = r \sin \theta$$

und die Polarkoordinaten-Basisvektoren sind dann

$$\vec e_r = \frac{\partial x}{\partial r}\vec e_x + \frac{\partial y}{\partial r}\vec e_y = \cos \theta \; \vec e_x + \sin \theta \; \vec e_y$$

$$\vec e_\theta = \frac{\partial x}{\partial \theta}\vec e_x + \frac{\partial y}{\partial \theta}\vec e_y = -r \sin \theta \; \vec e_x + r \cos \theta \; \vec e_y$$

So

$$\vec e_r \cdot \vec e_r = g_{rr}=1$$

$$\vec e_\theta \cdot \vec e_\theta = g_{\theta \theta}= r^2$$

$$\vec e_r \cdot \vec e_\theta = g_{r\theta} = g_{\theta r} = 0$$

und das Linienelement ist

$$ds^2 = g_{rr}dr^2 + g_{\theta \theta}d\theta^2 + 2g_{r\theta}drd\theta = dr^2 + r^2d\theta^2$$

Schließlich fragen wir nach Koordinaten$\{\hat r, \hat \theta\}$kann für die Einheitspolarbasis so gefunden werden, dass

$$\vec e_{\hat r} = \vec e_r = \frac{\partial x}{\partial \hat r}\vec e_x + \frac{\partial y}{\partial \hat r}\vec e_y = \cos \theta \; \vec e_x + \sin \theta \; \vec e_y$$

$$\vec e_\hat \theta = \frac{1}{r}\vec e_\theta = \frac{\partial x}{\partial \hat \theta}\vec e_x + \frac{\partial y}{\partial \hat \theta}\vec e_y = -\sin \theta \; \vec e_x + \cos \theta \; \vec e_y$$

Wenn es Koordinaten gibt$\{\hat r, \hat \theta\}$, Dann

$$\frac{\partial^2 x}{\partial \hat r \partial \hat \theta} = \frac{\partial^2 x}{\partial \hat \theta \partial \hat r }$$

$$\frac{\partial^2 y}{\partial \hat r \partial \hat \theta} = \frac{\partial^2 y}{\partial \hat \theta \partial \hat r }$$

Aber

$$\frac{\partial^2 x}{\partial \hat r \partial \hat \theta} = \frac{\partial}{\partial \hat r} (-\sin \theta) = \frac{\partial}{\partial \hat r}\left(-\frac{y}{r}\right) = \frac{\partial}{\partial r}\left(-\frac{y}{r}\right) = \frac{y}{r^2}$$

$$\frac{\partial^2 x}{\partial \hat \theta \partial \hat r} = \frac{\partial}{\partial \hat \theta} (\cos \theta) \ne \frac{y}{r^2}$$

und damit Koordinaten${\hat r, \hat \theta}$existiert nicht; die Einheitspolarbasis ist keine Koordinatenbasis .

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Um dies besser zu sehen , betrachten Sie die Höhenkurven des Polarkoordinatensystems:

Die konzentrischen Kreise repräsentieren die Basis-Eins-Form$\tilde dr$dual zum$r$Basisvektor$\vec e_r$. Beachten Sie, dass der Abstand der Kreise konstant ist, was bedeutet, dass die Größe von$\tilde dr$ist konstant.

Die radialen Linien stellen die Basis-Eins-Form dar$\tilde d\theta$dual zum$\theta$Basisvektor$\vec e_\theta$. Beachten Sie, dass als$r$Die Koordinate nimmt zu, der Abstand zwischen den radialen Linien nimmt zu, oder anders ausgedrückt, die Dichte geht als$\frac{1}{r}$damit die Größenordnung von$\tilde d\theta$ist nicht konstant, sondern gerecht$\frac{1}{r}$

$$\tilde d\theta \cdot \tilde d\theta = \frac{1}{r^2}$$

Aber seit

$$\langle\tilde d\theta, \vec e_\theta\rangle = 1$$

es folgt dem

$$\vec e_\theta \cdot \vec e_\theta = r^2$$

Jetzt ist es leicht zu „sehen“, warum die polare Einheitsbasis keine Koordinatenbasis ist; Wenn

$$\vec e_\hat \theta \cdot \vec e_\hat \theta = 1$$

dann die radialen Linien (Linien von konstant$\hat \theta$) muss eine konstante Dichte haben, aber radiale Linien können keine konstante Dichte haben.

Wenn Sie ein Koordinatensystem haben, können Sie sich entlang einer Koordinate bewegen, was einige Vektoren anzeigt, die Sie als Basis verwenden könnten.

Diese Vektoren können orthogonal sein, das hängt von Ihren Koordinaten ab (denken Sie, sieht die Metrik in diesen Koordinaten diagonal aus)?

Aber selbst wenn Ihre Koordinaten orthogonal sind, müssen Sie immer noch eine Größe für diese Vektoren auswählen. Es gibt ein paar natürliche Möglichkeiten.

Eine Möglichkeit besteht darin, sie zu orthonormalen Vektoren zu machen. Diese Wahl spielt sich genau so ab, wie Sie es erwarten.

Eine andere Möglichkeit besteht darin, eine Koordinatenbasis zu haben. Wenn Ihre Koordinaten kartesisch sind, stellt sich heraus, dass Sie beides tun können. Und die meisten Einführungskurse machen keine große Aufregung darüber, dass eine orthonormale Basis im Allgemeinen keine Koordinatenbasis ist. Und das tun sie, weil sie nicht zwischen Covektoren und Vektoren unterscheiden wollen.

Was ist also eine Koordinatenbasis? Wenn Sie den Gradienten als Covektor darstellen, kann der Gradient auf ein Koordinatenbasiselement einwirken, um die partielle Ableitung in Richtung dieser Koordinate zu erhalten. Dies gilt nicht auf einer nicht koordinierten Basis.

Ein Beispiel ist die Grundlage$\hat \theta$Und$\hat r$das sind Einheitsvektoren, die gegen den Uhrzeigersinn bzw. radial nach außen zeigen. Das ist ein Beispiel für eine nicht koordinierte Basis. Eine Koordinatenbasis hätte Vektoren, die in die gleiche Richtung zeigen, aber unterschiedliche Längen hätten.

Welche magischen Längen machen sie zu einer Koordinatenbasis?

Wenn Vektoren wie Spaltenvektoren (nx1-Matrizen) sind, dann ist ein Covektor wie ein Zeilenvektor (1xn-Matrizen). Warum? Weil es eine natürliche lineare Wirkung von Covektoren auf Vektoren gibt und diese Notation uns genau daran erinnern wird.

Wenn Sie also eine Koordinatenbasis verwenden, ist es so einfach wie zu sagen, dass der Gradient von f ist$[ \partial f /\partial r \quad \partial f /\partial \theta].$Sie können es sich wie eine Reihe von Pegelkurven vorstellen, es versucht Ihnen die Rate f zu sagen, wenn Sie die Rate kennen, mit der sich Ihre Position ändert. Wenn Sie also eine Koordinatenbasis hätten, könnten Sie sich das vorstellen$r(t)$Und$\theta(t)$als parametrisierte Koordinaten und dann für ein kleines Intervall von Parametern$\Delta t$Sie erhalten eine entsprechende$\Delta r$Und$\Delta \theta$dann kannst du rechnen$\Delta f$aus$(\partial f /\partial r )\Delta r+ (\partial f /\partial \theta)\Delta\theta.$Für eine Koordinatenbasis möchten Sie also Vektoren, die in die richtige Richtung zeigen, sodass die Koeffizienten vor dem Differenzvektor liegen$\Delta r$Und$\Delta \theta.$Und da ist der eigentliche Hubraum$(\Delta r )\hat r+ (r\Delta \theta)\hat\theta.$Damit sind die Koordinatenvektoren$\hat r$Und$r\hat\theta.$

Sie können also die orthonormale Basis haben$\{\hat r,\theta\}$oder die Koordinatenbasis$\{\hat r,(1/r)\hat \theta\}.$Der zweite interagiert auf natürliche Weise mit dem Farbverlauf.

Mit einer Koordinatenbasis können Sie sich auf parametrisierten Pfaden bewegen, die die Koordinatenbasis als Tangenten haben, und es ist, als würden Sie sich auf Millimeterpapier bewegen, das durch die Koordinaten verzerrt ist. Über einen bestimmten Parameter bedeutet über eine bestimmte Koordinate, also übereinander das eine zurück und das andere wieder dort landen, wo Sie angefangen haben. Wenn Sie entlang dieses Pfades parallel transportieren, können Sie die Krümmung finden, indem Sie sehen, wie sich der Vektor geändert hat. Um jedoch wieder dort zu landen, wo Sie begonnen haben, müssen Sie sich um einen Koordinatenbetrag und nicht um einen Entfernungsbetrag bewegen.