Bei zwei verschiedenen sich schneidenden Kreisen ist die Länge der Sehne des größeren Kreises, die vom kleineren Kreis halbiert wird, gleich?

Question

Bei zwei verschiedenen sich schneidenden Kreisen ist die Länge der Sehne des größeren Kreises, die vom kleineren Kreis halbiert wird, gleich?

Kreise
Geometrie
Mathematik
analytische Geometrie
Koordinatensystem
Euklidische Geometrie

Mpaparazzi

Zwei Kreise, deren Mittelpunkte auf der x-Achse liegen, deren Radien sind $\sqrt2cm$ Und $1cm$ und deren Mitten 2 cm voneinander entfernt sind, schneiden sich an einem Punkt A. Die Sehne AC des größeren Kreises schneidet den kleineren Kreis an einem Punkt B und wird durch diesen Punkt halbiert. Wie lang ist der Akkord AC? . Mein Versuch: . . Wie im obigen Diagramm gezeigt, habe ich zunächst angenommen, dass der Mittelpunkt des kleineren Kreises S ₁ (von Radius 1) der Ursprung und der Mittelpunkt des größeren Kreises S ₂ (von Radius) ist $\sqrt2$ ) sein $(2,0)$ da die Zentren durch 2 Einheiten getrennt sind. Ich habe dann gelöst:

S1 : _{_} $x^2 + y^2 = 1$ ; Und

S2 : _{_} $(x-2)^2 + y^2 = 2$ erhalten $A(\frac{3}4 , \frac{\sqrt7}4)$

Folgende Gleichungen habe ich mir notiert:

Da B als Mittelpunkt des Akkords AC gilt:

X _B = $\frac{X_A + X_C}2$ ; $Y_B = \frac{Y_A +Y_C}2$

Da liegt C an $S_2$ :

$(X_C-2)^2 + Y_C^2 = 2$

Der Abstand von B vom Ursprung beträgt 1 Einheit:

$(X_B-0)^2 + (Y_B-0)^2 = 1$

$(\frac{X_A + X_C}2 - 0)^2$ + $(\frac{Y_A +Y_C}2 - 0)^2 = 1$

$(\frac{\frac{3}4 + X_C}2 - 0)^2$ + $(\frac{\frac{\sqrt7}4 +Y_C}2 - 0)^2 = 1$

Diese Gleichung und die in Punkt 2 generierte Gleichung sind zusammen zwei Gleichungen in zwei Variablen und ich sollte in der Lage sein, sie zu lösen, um die Koordinate von C zu erhalten. Dies erweist sich jedoch als umständlich.

. Gibt es einen besseren Weg, um diesen Ansatz zu vermeiden.

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Bei zwei verschiedenen sich schneidenden Kreisen ist die Länge der Sehne des größeren Kreises, die vom kleineren Kreis halbiert wird, gleich?

Mathe-Liebhaber · Answer 1

Lassen Sie einen Täter fallen $C_1$ Zu $AB$ und verlängern. Dann $D$ ist der Mittelpunkt von $AB$ . Lassen Sie einen Täter fallen $C_2$ Zu $C_1D$ erweitern.

Wenn $AC = 4a$ , $C_2E = BD = a$ Und $C_1E = C_1D + C_2B$

$C_1D = \sqrt{1-a^2}, C_2B = \sqrt{2 - 4a^2}$

Verwendung von Pythagoras in $\triangle C_1EC_2$ ,

$(\sqrt{1-a^2} + \sqrt{2 - 4a^2})^2 + a^2 = 4$

$3 - 4a^2 + 2 \sqrt{1-a^2} \sqrt{2 - 4a^2} = 4$

$4 (1-a^2) (2 - 4a^2) = (1 + 4a^2)^2$

$8 - 24a^2 + 16a^4 = 1 + 16 a^4 + 8 a^2$

$\displaystyle 32a^2 = 7 \implies AC = 4a = \sqrt{\frac{7}{2}}$

MeineMoleküle · Answer 2

Hinweis :

Seit $AC$ wird bei halbiert $B$ , $C_2B \perp AC$ .

Tipp 2 :

Der Kreis mit Durchmesser $AC_2$ durchläuft $B$ . Somit $AB$ ist die radikale Achse dieses Kreises und $S_1$ .

Tipp 3:

Der Abstand jedes der Mittelpunkte von drei Kreisen von der Radikalachse ist leicht berechenbar. Mit einigen rechtwinkligen Dreiecken, Länge von $AC$ kann dann bestimmt werden.

Alternativ kann man sich für eine geometrische Lösung entscheiden.

Bezeichnung durch $M$ Mittelpunkt von $AC_2$ , $AC_1BM$ ist ein Drachen mit vier Seiten und einer Diagonale bekannt (aus den in Hinweis 2 genannten Gründen). Seine andere Diagonale $AB$ kann durch Anwendung des Satzes von Pythagoras gefunden und verdoppelt werden, um die Länge von zu erhalten $AC$ .

Jean Marie · Answer 3

Ja, es gibt einen anderen Weg mit Trigonometrie:

Lassen Sie mit Ihrem Koordinatensystem:

B = (\cos a, Sünde a) Und C = (2 + \sqrt{2} \cos β, \sqrt{2} Sünde β)

$B=(\cos \alpha, \sin \alpha) \ \text{and} \ C=(2+\sqrt{2}\cos \beta, \sqrt{2}\sin \beta)$

Wir müssen nur ausdrücken, dass B der Mittelpunkt von [AC] ist, indem wir das schreiben

2 B = A + C ⟺ {\begin{cases} 2 \cos a & = & \frac{3}{4} + 2 + \sqrt{2} \cos β & (1 A) \\ 2 Sünde a & = & \frac{\sqrt{7}}{4} + \sqrt{2} Sünde β & (1 B) \end{cases}

$2B=A+C \ \iff \ \begin{cases}2\cos \alpha&=& \dfrac34+2+\sqrt{2}\cos\beta & (1a)\\2 \sin \alpha&=&\dfrac{\sqrt{7}}{4}+\sqrt{2}\sin \beta & (1b)\end{cases}$

Dies gibt Ihnen 2 Gleichungen in den 2 Unbekannten $\alpha$ Und $\beta$ .

Quadrieren und Addieren von (1a) und (1b) ergibt:

4 = (\frac{11}{4} + \sqrt{2} \cos β)^{2} + (\frac{\sqrt{7}}{4} + \sqrt{2} Sünde β)^{2}

$4=(\dfrac{11}{4}+\sqrt{2}\cos\beta)^2+(\dfrac{\sqrt{7}}{4}+\sqrt{2}\sin \beta)^2$

Erweitern und erneut verwenden $\cos^2a +\sin^2 a=1$ :

4 = (\frac{11}{4})^{2} + 2 (\frac{11}{4}) \sqrt{2} \cos β + (\frac{7}{16})^{2} + 2 \frac{\sqrt{7}}{4} \sqrt{2} Sünde β + 2

$4=(\dfrac{11}{4})^2+2(\dfrac{11}{4})\sqrt{2}\cos\beta+(\dfrac{7}{16})^2+2\dfrac{\sqrt{7}}{4}\sqrt{2}\sin \beta+2$

Das ist die sehr klassische Gleichung $A \cos a + B\sin a=C$

Bei zwei verschiedenen sich schneidenden Kreisen ist die Länge der Sehne des größeren Kreises, die vom kleineren Kreis halbiert wird, gleich?

Mpaparazzi

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Mathe-Liebhaber

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Jean Marie

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