Die Borel-Sigma-Algebra auf erhält man, indem man mit offenen Mengen beginnt und wiederholt die Operationen Komplement, zählbare Vereinigung, zählbarer Durchschnitt anwendet. Nun machte Henri Lebesgue bekanntermaßen den Fehler zu denken, dass die Projektion einer Borel-Menge immer eine Borel-Menge ist. In Wirklichkeit muss die Projektion einer Borel-Menge keine Borel-Menge sein, obwohl sie immer noch Lebesgue-messbar ist. Das ist also eine Möglichkeit, eine messbare Lebesgue-Menge zu konstruieren, die keine Borel-Menge ist.
Aber meine Frage ist, was ist ein Beispiel für eine messbare Lebesgue-Menge, die nicht auf diese Weise konstruiert werden kann? Das heißt, was ist eine messbare Lebesgue-Menge, die nicht konstruiert werden kann, indem man mit offenen Mengen beginnt und wiederholt die Operationen von Komplement, zählbarer Vereinigung, zählbarer Schnittmenge und Projektion anwenden?
Beginnen Sie mit einem Satz von Maß Null. Wählen Sie eine verrückte Teilmenge (z. B. eine Bernstein-Menge, wenn geschlossen ist, oder ein Vitali-Set, wenn es sinnvoll ist). Dann ist Lebesgue messbar, aber nicht analytisch.
Etwas trivialerweise (im Vergleich zu der Tatsache, dass analytische Mengen messbar sind) ist jede koanalytische Menge Lebesgue-messbar (insbesondere eine koanalytische Nicht-Borel-Menge ist nicht analytisch, aber messbar). Ebenso ist jede zählbare boolesche Kombination analytischer Mengen messbar.
Allgemeiner gesagt ist jede Lebesgue-Messgröße (oder tatsächlich messbar in Bezug auf ein gegebenes reguläres Maß) von der Form , Wo ist ein einstellen und ist Maß . Es wird so brav sein wie ist (mehr oder weniger).
Beachten Sie, dass Sie kein "explizites" Beispiel geben können, da es ohne Wahlaxiom konsistent ist, dass jede Menge von reellen Zahlen Borel ist (oder sogar eine zählbare Vereinigung von zählbaren Mengen).
Diese Art von Frage kann immer mit einem Brute-Force-Diagonalisierungsargument beantwortet werden (natürlich unter der Annahme einer gewissen Auswahl):
Fixieren Sie Ihr bevorzugtes Größenkontinuumsmaß-Null-Set .
Zeigen Sie, dass die Klasse von Mengen, die Ihnen wichtig sind - zB Borel oder projektiv oder ... - hat ein Größenkontinuum: das heißt, es gibt echte "Codes" für jede Menge. Darauf wird man sich verlassen aus einer "kleinen" Menge generiert werden (z öffnet ) durch eine "kleine" Anzahl "einfacher" Operationen (z. B. endlich viele endliche oder abzählbare Operationen). Dies ist das Bit, das Wahlmöglichkeiten nutzt! Ohne Auswahl sind z. B. "Borel" und "Borel-kodiert" verschieden.
Korrigieren Sie nun eine Bijektion , und lass
Beachten Sie, dass dieser Ansatz im Vergleich zum Begriff "Codierung" im zweiten Aufzählungspunkt eigentlich ziemlich konstruktiv ist und diese Codierung normalerweise nicht allzu schlecht ist. Zum Beispiel die Beziehung " ist im Borel-Set codiert durch ,“ unter Verwendung des üblichen Begriffs „Code“ in diesem Zusammenhang, ist Borel, wenn wir uns darauf beschränken in der Menge der Borel-Codes , und diese letztere Menge ist koanalytisch; also die ganze beziehung
Wie Tomasz erwähnte, gibt es kein wirklich "explizites" Beispiel. Sie können jedoch ein einfaches Kardinalitätsargument dafür angeben, dass eine solche Menge existieren muss. Die Kardinalität der Sammlung von Mengen, die mit Ihren Operationen konstruiert werden können, ist nämlich (Der Beweis dafür ist fast genau derselbe wie für Borel-Mengen, nur mit der als zusätzliche Operation hinzugefügten Projektion, siehe Kardinalität des Borel -Algebra eines zweiten abzählbaren Raums zum Beispiel). Andererseits, wenn ist eine Nullmenge von Kardinalität , Dann hat verschiedene Teilmengen und alle sind Lebesgue-messbar, sodass nicht alle aus Ihren Operationen konstruiert werden können.
Tomasz