Berechnung der Bogenlänge einer Kurve mit dem Satz des Pythagoras

Question

Berechnung der Bogenlänge einer Kurve mit dem Satz des Pythagoras

Elia

Ich wurde gebeten, einem Kommilitonen die Bogenlänge der parametrischen Kurve zu erklären, nur um herauszufinden, dass ich sie selbst nicht vollständig verstehe, um sie erklären zu können. Ich habe hier mehrere Beiträge zu diesem Thema gelesen, aber ich habe immer noch das Gefühl, dass mir etwas fehlt.

Mein Verständnis ist,

Lassen $C \rightarrow \mathbf{R_3}$ eine beliebige Kurve sein und lassen $\textbf{x(s)}=$ ( $x_1(s), x_2(s), x_3(s)$ ) für $s\in [a,b]$ sei eine parametrische Darstellung von $C$ .

Um die Bogenlänge abzuleiten $ds$ - Wo $ds$ ist eine infinitesimale Änderung der Bogenlänge - wenn wir es mit parametrischen Gleichungen zu tun haben, zerlegen wir es darauf, wie viel Änderung in jeder der Richtungen stattgefunden hat

(1)

D X_{ich} = \frac{D X_{ich}}{D S} \cdot D S = X_{ich}^{^{'}} D S ich \in 1, 2, 3

$dx_i = \frac{dx_i}{ds}\cdot ds = x_i^ {'} ds \quad \quad i\in {1, 2, 3}$

Daraus ergibt sich die Länge von $ds$ wird

(2)

D S = \sqrt{Σ_{ich = 1}^{3} [X_{ich}^{^{'}} \cdot D S]^{2}} = \sqrt{Σ_{ich = 1}^{3} [X_{ich}^{^{'}}]^{2}} \cdot D S

$\begin{equation} ds = \sqrt{\Sigma_{i=1}^{3}[x_i^{'}\cdot ds]^2}= \sqrt{\Sigma_{i=1}^{3}[x_i^{'}]^2}\cdot ds \end{equation}$

Durch Aufsummieren $ds$ im Intervall $s=a$ Zu $s=b$

(3)

A R C l e N G T H = \int_{S = A}^{S = B} D S = \int_{S = A}^{S = B} \sqrt{Σ_{ich = 1}^{3} [X_{ich}^{^{'}}]^{2}} \cdot D S

$\begin{equation} arc \,\, length = \int_{s=a}^{s=b} ds = \int_{s=a}^{s=b} \sqrt{\Sigma_{i=1}^{3}[x_i^{'}]^2}\cdot ds \end{equation}$

Falls wir die Bogenlänge auf der Kurve finden möchten $C$ aus $x_1=a_0$ Zu $x_1=a_1$ , müssten wir über integrieren $dx_1$ anstatt $ds$

D S = \sqrt{Σ_{ich = 1}^{3} [X_{ich}^{^{'}}]^{2}} \cdot D S = \sqrt{X_{1}^{^{'} 2} + X_{2}^{^{'} 2} + X_{3}^{^{'} 2}} \cdot D S = \sqrt{X_{1}^{^{'} 2} \cdot (1 + \frac{X_{2}^{^{'} 2}}{X_{1}^{^{'} 2}} + \frac{X_{3}^{^{'} 2}}{X_{1}^{^{'} 2}})} \cdot D S

$\begin{equation*} ds = \sqrt{\Sigma_{i=1}^{3}[x_i^{'}]^2}\cdot ds = \sqrt{x_1^{'2}+x_2^{'2}+x_3^{'2}}\cdot ds = \sqrt{x_1^{'2}\cdot (1 + \frac{x_2^{'2}}{x_1^{'2}}+\frac{x_3^{'2}}{x_1^{'2}})} \cdot ds \end{equation*}$

D S = \sqrt{1 + \frac{X_{2}^{^{'} 2}}{X_{1}^{^{'} 2}} + \frac{X_{3}^{^{'} 2}}{X_{1}^{^{'} 2}}} \cdot X_{1}^{^{'} 2} \cdot D S = \sqrt{1 + \frac{X_{2}^{^{'} 2}}{X_{1}^{^{'} 2}} + \frac{X_{3}^{^{'} 2}}{X_{1}^{^{'} 2}}} \cdot \frac{D X_{1}}{D S} \cdot D S

$\begin{equation*} ds = \sqrt{1 + \frac{x_2^{'2}}{x_1^{'2}}+\frac{x_3^{'2}}{x_1^{'2}}}\cdot {x_1^{'2}}\cdot ds = \sqrt{1 + \frac{x_2^{'2}}{x_1^{'2}}+\frac{x_3^{'2}}{x_1^{'2}}} \cdot \frac{dx_1}{ds}\cdot ds \end{equation*}$

A R C l e N G T H = \int_{X_{1} = A_{0}}^{X_{1} = A_{1}} \sqrt{1 + \frac{X_{2}^{^{'} 2}}{X_{1}^{^{'} 2}} + \frac{X_{3}^{^{'} 2}}{X_{1}^{^{'} 2}}} \cdot \frac{D X_{1}}{D S} \cdot D S

$\begin{equation*} arc \,\, length = \int_{x_1=a_0}^{x_1=a_1} \sqrt{1 + \frac{x_2^{'2}}{x_1^{'2}}+\frac{x_3^{'2}}{x_1^{'2}}} \cdot \frac{dx_1}{ds}\cdot ds \end{equation*}$

Unter Verwendung der obigen Gleichung (1).

A R C l e N G T H = \int_{X_{1} = A_{0}}^{X_{1} = A_{1}} \sqrt{1 + \frac{X_{2}^{^{'} 2}}{X_{1}^{^{'} 2}} + \frac{X_{3}^{^{'} 2}}{X_{1}^{^{'} 2}}} \cdot D X_{1}

$\begin{equation*} arc \,\, length = \int_{x_1=a_0}^{x_1=a_1} \sqrt{1 + \frac{x_2^{'2}}{x_1^{'2}}+\frac{x_3^{'2}}{x_1^{'2}}} \cdot dx_1 \end{equation*}$

Zunächst einmal hoffe ich, dass die obigen Gleichungen stimmen, da ich das Gefühl habe, dass ich die verschiedenen Notationen durcheinander bringe.
Betrachtet man Gleichung (1), $ds$ kann als Abstand entlang der Kurve visualisiert werden $C$ . $dx_i$ kann ebenso wie die Entfernung entlang der visualisiert werden $x_i$ Achse. Aber ich bin nicht ganz sicher, was tut $\frac{dx_i}{ds}$ hier vertreten. Ich weiß, es bedeutet die Änderung in $x_i$ in Bezug auf $ds$ , aber hier fehlt mir noch etwas. Gibt es eine Möglichkeit, diesen Wert zu visualisieren, vielleicht könnte das mir helfen, ihn zu verstehen.

Oder kann man das so sehen $(\frac{dx_i}{ds})$ repräsentiert die Geschwindigkeit in der $x_i$ Richtung u $ds$ Zeit sein, also ihre Vervielfachung $\frac{dx_i}{ds}\cdot ds$ ist die entfernung in diese richtung? Aber wie kann das dann in Gleichung (2) interpretiert werden als $time = speed \cdot time$ ?
Eine letzte Sache, wenn man sich Gleichung (2) ansieht, würde nicht $\sqrt{\Sigma_{i=1}^{3}[x_i^{'}]^2}$ gleich sein 1?

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Berechnung der Bogenlänge einer Kurve mit dem Satz des Pythagoras

Benutzer65203 · Answer 1

Lassen Sie uns mit endlichen Inkrementen und in 2D arbeiten.

Wenn die parametrischen Gleichungen der Kurve sind

X = X (T), j = j (T),

$x=x(t),y=y(t),$

eine Steigerung $\Delta t$ im Parameter entspricht Inkrementen $\Delta x, \Delta y$ in den Koordinaten.

Von Pythagoras ist die zurückgelegte Strecke

Δ S = \sqrt{Δ X^{2} + Δ j^{2}}

$\Delta s=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$

und die gesamte Kurvenlänge,

S = \sum Δ S .

$S=\sum \Delta s.$

Wenn wir nun an die Grenze gehen, haben wir in differenzieller Hinsicht

S = \oint \sqrt{D X^{2} + D j^{2}} = \int_{T_{0}}^{T_{1}} \sqrt{{(\frac{D X}{D T})}^{2} + {(\frac{D j}{D T})}^{2}} D T = \int_{T_{0}}^{T_{1}} \sqrt{{\dot{X}}^{2} + {\dot{j}}^{2}} D T .

$S=\oint\sqrt{dx^2+dy^2}=\int_{t_0}^{t_1}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt=\int_{t_0}^{t_1}\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}\,dt.$

Wenn $t$ Zeit ist, können wir auch den Ausdruck der momentanen Geschwindigkeit schreiben,

v = \frac{D S}{D T} = \sqrt{{\dot{X}}^{2} + {\dot{j}}^{2}}

$v=\frac{ds}{dt}=\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}$ dh die pythagoräische Kombination der horizontalen und vertikalen Geschwindigkeiten.

Nun, wenn die Kurve als beschrieben wird $y=y(x)$ , es genügt zu ersetzen $t$ von $x$ Und

S = \int_{X_{0}}^{X_{1}} \sqrt{1 + j^{' 2}} D X .

$S=\int_{x_0}^{x_1}\sqrt{1+y'^2}\,dx.$

Die Mengen $\dfrac{dx}{ds}$ Und $\dfrac{dy}{ds}$ sind die sogenannten Richtungskosinusse , also die Komponenten des Einheits- Tangens-Vektors.

\vec{T} = \frac{\vec{v}}{v} = \frac{(\dot{X}, \dot{j})}{\frac{D S}{D T}} = (\frac{D X}{D S}, \frac{D j}{D S})

$\vec t=\frac{\vec v}v=\frac{\left(\dot x,\dot y\right)}{\dfrac{ds}{dt}}=\left(\dfrac{dx}{ds},\dfrac{dy}{ds}\right)$

Und

{(\frac{D X}{D S})}^{2} + {(\frac{D j}{D S})}^{2} = 1.

$\left(\dfrac{dx}{ds}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{ds}\right)^2=1.$

Die Verallgemeinerung auf 3D erfolgt unmittelbar.

Vielen Dank für die Antwort, wie ich aus den Erläuterungen verstehe, sind die Gleichungen in meinem Beitrag im 3D-Raum korrekt. Ich verstehe also die allgemeine Idee hinter der Mathematik und wie es passiert. Könnten Sie sich jedoch auf die Aufzählungspunkte in meinem Beitrag als diese kleinen Hindernisse beziehen, die mir nur im Weg stehen, alles miteinander zu verknüpfen.

Berechnung der Bogenlänge einer Kurve mit dem Satz des Pythagoras

Elia

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Benutzer65203

Elia

Benutzer65203

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