Best Fit mit linearer Funktion und einem Problem von "Null"

Ich habe experimentelle Daten über die Abhängigkeit des Magnetfelds (B) im Zentrum der Helmholtz-Spulen vom Strom darin (I).

I(A)  B(Tl)   I_error B_error
1.000 0.73e-3 0.02 0.04e-3
1.125 0.80e-3 0.02 0.04e-3
1.250 0.82e-3 0.02 0.04e-3
1.375 0.91e-3 0.02 0.03e-3
1.500 1.05e-3 0.02 0.03e-3
1.625 1.09e-3 0.02 0.03e-3
1.750 1.15e-3 0.02 0.03e-3
1.875 1.32e-3 0.02 0.03e-3
2.000 1.35e-3 0.02 0.02e-3
2.125 1.46e-3 0.02 0.02e-3
2.250 1.55e-3 0.02 0.02e-3

Die Theorie sagt eine lineare Abhängigkeit zwischen diesen Größen der Form voraus B = C ⋅ ICH (dh j = A X ). Anpassung an das lineare Modell j = A X Von diesen Daten erhalte ich den Wert des Parameters (a oder C) C = ( 6.83 ± 0,05 ) ⋅ 10 − 4 Tl/A.

Aber wenn ich versuche, das Modell zu verwenden j = A X + B (mit Nicht-Null B ), Ich bekomme C = ( 6.83 ± 0,24 ) ⋅ 10 − 4 Tl/A mit Wert B = 0,013 ⋅ 10 − 4 und mit großer Standartabweichung Δ B = 0,46 ⋅ 10 − 4 (dh B ≪ Δ B ).

Somit stellt sich die Frage, in welchem ​​Fall ich den korrekten Fehler im aParameter erhalten habe, wenn ich ein Modell verwendet habe j = A X + B ( Δ A = 0,24 ⋅ 10 − 4 ) oder ein Modell j = A X ( Δ A = 0,05 ⋅ 10 − 4 )?

C = ( 6.83 ± 0,05 ) ⋅ 10 − 4 Tl/A

oder

C = ( 6.83 ± 0,24 ) ⋅ 10 − 4 Tl/A

?

Geben Sie hier die Bildbeschreibung einAnpassprogramm ist GnuPlot(GpFit.gp):

# ------------ Fitting ----------
set fit quiet
a = 6e-4;
f(x) = a*x + b; 
set fit errorvariables;
fit f(x) ARG1 u 1:2:3:4  xyerrors via a,b; 

# ------ Calculation of R^2 ------

stats "" u 2:($2 - (a*$1 + b)) nooutput
SST = STATS_stddev_x**2*STATS_records
SSE = STATS_sumsq_y
R2 = 1 - SSE/SST
 
# ------- Results ----------

set print ARG2
print "Parameter a: ", a
print "Standart Deviation of a: ", a_err
print "Parameter b: ", b
print "Standart Deviation of b: ", b_err
print "chi square: ", (FIT_STDFIT)**2
print "R square:" , R2

Verwenden Sie zum Starten des Skripts

gnuplot -persist -c GnuFit.gp <input_data_file> <output_results_file>
Wenn du glaubst B = 0 und nur den Wert messen wollen A , verwenden Sie die erste. Wenn Sie experimentell testen möchten, ob B = 0 Verwenden Sie auch die zweite.
@ConnorBehan Ok, angenommen, ich möchte auch experimentell testen, ob b = 0 ist, und ich verwende die zweite, dann bekomme ich b << Delta b, was soll ich schließen?
Die Schlussfolgerung wäre, dass b nicht von Null zu unterscheiden ist.

Antworten (2)

Sobald Sie den Ursprung als fehlerfreien Datenpunkt festgelegt haben, dh der am besten passende Graph muss durch den Ursprung gehen, begrenzen Sie die Anzahl der möglichen Linien, die zu den Daten passen, im Vergleich zu dem allgemeineren Fall, bei dem angenommen wird, dass es sich um eine lineare Beziehung handelt .

Eine Sache, die aus Ihrem Diagramm nicht sofort ersichtlich ist, ist, dass der Datenpunkt mit dem niedrigsten Wert im Vergleich zum Bereich der Datenpunkte weit vom Ursprung entfernt ist.
Das Einbeziehen des Ursprungs zeigt dies deutlich, aber beachten Sie, dass die unten gezeigte beste Anpassungslinie jeden der Datenpunkte gleich gewichtet.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Haben Sie bei dem Experiment überprüft, ob die Magnetfeld- und Strommessgeräte einen Nullfehler hatten? Ein Offset würde zu einem Graphen führen, der nicht durch den Ursprung geht, obwohl die Theorie eine direkte Proportionalität vorhersagt.

"Haben Sie im Experiment überprüft, ob bei den Magnetfeld- und Strommessgeräten ein Nullfehler aufgetreten ist?" Ja, ich habe es überprüft. Um einen Punkt zu erhalten, nahm ich zehn Messungen vor, wobei ich jedes Mal den Strom auf Null zurückstellte und ihn wieder auf den gewünschten Wert erhöhte.

Die Unsicherheit der Anpassungsparameter ist spezifisch für das verwendete Anpassungsmodell. Die Frage ist also nicht, welche Unsicherheit richtig ist, sondern welches Modell verwendet werden soll. In der Statistik gibt es Werkzeuge zur Modellauswahl (z. B. Kreuzvalidierung, Strafen für jeden Fit-Parameter) sowie zur „Datenpunktauswahl für Fits“. Ich denke, die Datenpunktauswahl ist für Ihr Beispiel besser geeignet. Daher werde ich im Folgenden näher darauf eingehen.

Eine Eigenschaft, die üblicherweise bei der Durchführung von Anpassungen berücksichtigt wird, ist die sogenannte Hebelwirkung . Dies ist wichtig, denn wenn wir mit konstanten Gewichten passen (jeder Datenpunkt erhält das gleiche Gewicht), beeinflussen die Datenpunkte die Anpassung nicht gleichermaßen. Wenn wir also einen Datenpunkt bei hinzufügen ( ICH , B ) = ( 0 , 0 ) , hat dieser neue Datenpunkt einen großen Einfluss auf die Anpassung. Wie Farcher betonte, tun Sie dies effektiv, indem Sie das Modell auswählen j = A X .

Um auf Ihre ursprüngliche Frage zurückzukommen, empfehle ich Ihnen, das Modell zu verwenden j = A X + B , weil man größere Unsicherheiten erhält. Aus meiner Sicht ist es wichtig, dass wir „ konservativ “ sind, da meist unbekannte Fehler vorhanden sind. Beispielsweise besteht eine richtige Messsystemanalyse aus vielen Studien (Messgerät-R&R, Abweichung, Linearität und Stabilität) des Messgeräts. Da dies nicht oft durchgeführt wird, sollten wir unseren Ergebnissen nicht zu sehr vertrauen.

„Ich empfehle Ihnen, das Modell 𝑦=𝑎𝑥+𝑏 zu verwenden, da Sie größere Unsicherheiten erhalten. Aus meiner Sicht ist es wichtig, dass wir „konservativ“ sind. Ich hatte nie so darüber nachgedacht, aber das ist eine großartige Art, es zu sehen
Best Fit mit linearer Funktion und einem Problem von "Null"
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