Bestimmen der Spannung und Ladungen über jedem Kondensator

Betrachtet man die obere Schaltung:

Anwenden von KCL auf die Knoten:

A : (Vd - Va) / R1 = ( Va / sC1) + ( (Va - Vb) / sCx)

B : ( (Va - Vb) / sCx ) + ( (Vd - Vb) / sC2) = ( Vb - VL) / R2

L: ( (Vb - VL) / R2 ) = VL / sCL

3 Gleichungen für 3 Unbekannte.

(Vergessen Sie nicht, die Laplace-Transformation der Eingabe, dh von Vd, einzusetzen).

(Habe ich etwas verpasst ?)

Betrachtet man die untere Schaltung, kann sie wie folgt berechnet werden. Wie Sie wissen, gilt Kirchoff immer in jedem Knoten. Anstatt Kirchoff mit Strömen zu schreiben, machen wir es mit Ladung (Stromintegral über die Zeit):

A)

$$Q_{R1}=Q_{C1}+Q_{Cx}$$

B)

$$Q_{Cx}=Q_{C2}+Q_{CL}$$

Die Gesamtladung in jedem Kondensator ist am Ende seine Anfangsladung plus die Ladung, die danach umgewälzt wurde, dh QC1total=QC1initial + QC1 (in der vorherigen Gleichung).

Daher müssen die Anfangsladungen (bevor Strom zu fließen beginnt) bekannt sein, um das Problem zu lösen. Wir gehen davon aus, dass die Anfangsladung aller Kondensatoren 0 ist und daher QC1total=0+QC1=QC1, QC2total=QC2 usw.

Unter Verwendung des zweiten Kirchoff-Gesetzes können wir nun die Endspannungen schreiben, da wir wissen, dass die Endströme 0 sind und daher kein Spannungsabfall in den Widerständen auftritt.

ICH)

$$-Vd+V1=0 \rightarrow -Vd+\frac {Q_{C1}} {C1}=0$$

II)

$$-V1+Vx+V2+Vd=0 \rightarrow \frac{-Q_{C1}} {C1}+\frac {Q_{Cx}} {Cx}+\frac {Q_{C2}} {C2}+Vd=0$$

III)

$$-Vd-V2+Vout=0 \rightarrow -Vd-\frac {Q_{C2}} {C2}+\frac {Q_{CL}} {CL}=0$$

Mit diesen 3 Gleichungen plus der Gleichung in b) erhältst du 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten.

Die Gleichung in b) sagt genau das aus$\Delta Q_{Cx}=\Delta Q_{C2}+\Delta Q_{CL}$, dh

$$Q_{Cx}-Q_{C2}-Q_{CL}=Q_{previousCx}-Q_{previousC2}-Q_{previousCL}$$

Wenn Sie die Gleichungen II, III und die letzte nehmen, können Sie in Matrixform schreiben

$$\left( \begin{array}{c} 0 \\ Vd\\ Q_{previousCx}-Q_{previousC2}-Q_{previousCL} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} \frac 1 {Cx} & \frac 1 {C2} & 0 \\ 0 & -\frac 1 {C2} & \frac 1 {CL} \\ 1 & -1 & -1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} Qx \\ Q2\\ QL \end{array} \right)$$

Dies kann gelöst werden, indem die Matrix invertiert und mit dem Vektor auf der linken Seite multipliziert wird, wobei Sie die vorherigen Werte der Kondensatorladung verwenden müssen (am Anfang sind sie 0).

Danach sollten Sie die Gleichungen für den anderen Wert von CLK erhalten. Sie werden sehen, dass sich die Matrix nicht ändert, nur der Vektor ändert sich (Vd tauscht die Position mit 0) und Sie verwenden als Qvorher die im vorherigen Schritt erhaltenen Ladungen. Nach der Multiplikation erhalten Sie die neuen Werte von Q und können erneut mit anderen Werten von CLK iterieren.

Sie werden sehen, dass die Ausgangsspannung eine Welligkeit hat (pendelt zwischen 2 Werten). Wählen Sie für Ihre Simulationen eine langsame Uhr und Sie werden dieselbe Welligkeit sehen. Wenn die Uhr schnell ist, hat die Ausgangsspannung keine Welligkeit, aber ihr Endwert ist der Durchschnitt zwischen den beiden aus Gleichungen erhaltenen Werten.

Beispiel mit Vd = 5 V, C1 = 1 uF, Cx = 0,1 uF, C2 = 1 uF, CL = 1 uF und einem langsamen CLK von 10 Hz, hier ist die Simulation:

Sie können sehen, dass es zwischen 2,619 V und 238,1 mV oszilliert.

Wir erhalten die gleichen Ergebnisse, wenn wir in Matlab die zuvor angegebenen Gleichungen lösen:

Wenn Sie den Takt erhöhen, wird die Ausgangsspannung glatt, wie Sie in dieser Simulation sehen können (CLK auf 100 kHz geändert):

Die Endspannung beträgt 1,43 V, was Sie als Mittelwert zwischen 2,619 V und 238,1 mV erkennen können.