Bestimmt die Einführungs- und Eliminierungsregel für einen Operator eindeutig seine Wahrheitstabelle?

Meine Frage bezieht sich auf die Inferenz einer Wahrheitstabelle für einen Operator, wenn man bedenkt, wie er sich nach Einführung und Eliminierung verhält. Dies folgt aus einer Übung, die ich gelesen habe, und es hat mich zum Nachdenken gebracht, ob es mehrere Lösungen dafür geben kann.

Betrachten wir zum Beispiel den Operator$\otimes$und folgende Regeln:

$(1)$Einführung: Gegeben$A$Und$\neg B$folgt schließen$A \otimes B$, gegeben$\neg A$Und$B$folgt$A\otimes B$.

$(2)$Ausschluss: Gegeben$A\otimes B$Und$A$folgt$\neg B$; gegeben$A\otimes B$Und$B$folgt$\neg A$.

Sieht so aus, als ob es möglich ist, zwei Einträge in der Tabelle für eindeutig zu bestimmen$\otimes$:

Aber sind die restlichen Werte bestimmt?. Zum Beispiel für$A,B$Ich kann schließen$A\otimes\neg B$, aber habe ich genug Informationen, um das zu sagen?$A\otimes \neg B=\neg (A\otimes B)$?.

Die erste Eliminierungsregel und der wahre Wert für$A$implizieren$\neg B$also scheint das nicht möglich zu sein$A\otimes B$als Wahrheit in der ersten Reihe. Und in Anbetracht der letzten Zeile, wenn$A\otimes B$sollten dann zusammen mit dem False for den Wert True haben$A$implizieren wahr für$B$, dann wäre die komplette Tabelle gegeben durch

Wenn dies in Ordnung ist, scheint die Wahrheitstabelle hier in Ordnung zu sein, aber ist dies immer möglich?, Einführungs- und Eliminierungsregeln bestimmen immer eindeutig die Wahrheitstabelle für einen Operator?, Hängt dies von dem Logiksystem ab, das wir verwenden?.