Beweis der Formel für parallele Widerstände

AoE ist kein besonders theoretisch ausgerichtetes Buch, sondern eher ein praktischer Leitfaden mit dem Mindestmaß an Mathematik, das für die Analyse erforderlich ist. Ob das "gut" ist oder nicht, hängt von Ihren Zielen beim Erlernen von Elektronik ab.

In jedem Fall können wir, wenn wir zwei Widerstände durch einen Äquivalent ersetzen möchten, den Ersatzwiderstand aus dem Strom berechnen, der fließen würde. Es ist vorausgesetzt, dass die Spannung an jedem Widerstand gleich ist.

Für R1 ist der Strom I1 = V/R1, für R2 ist der Strom I2 = V/R2, also ist der Gesamtstrom:

I1 + I2 = V(1/R1+1/R2) und unser "äquivalenter" Widerstand Rp = 1/(1/R1+1/R2) = R1R2/(R1+R2).

Hinzufügen der Ströme in den Knoten: Ip - I1 - I2 = 0 (KCL), also Ip = I1 + I2

Es ist möglicherweise einfacher zu verstehen, wie es funktioniert, wenn Sie die Umkehrung von Widerstand- Leitfähigkeit verwenden .

In einer Parallelschaltung liegt an jeder Komponente die gleiche Spannung an, sodass der durch sie fließende Strom unabhängig von den anderen ist. Der Gesamtstrom ist die Summe der Einzelströme, der Gesamtleitwert ist also einfach die Summe der Einzelleitwerte.

Nehmen Sie das folgende Beispiel:-

^{Simulieren Sie diese Schaltung – Mit CircuitLab erstellter Schaltplan}

R1 hat einen Leitwert von 1 / 1 Ω = 1 A/V, R2 ist 1 / 2 Ω = 0,5 A/V und R3 ist 1 / 4 Ω = 0,25 A/V. Addieren Sie sie alle zusammen, um eine Gesamtleitfähigkeit von 1,75 A/V zu erhalten, und kehren Sie dann das Ergebnis um, um den Gesamtwiderstand von 1 / 1,75 = 0,571 Ω zu erhalten.

Dies ergibt die allgemeine Formel für parallele Widerstände: -

$\frac{1}{Rt} = \frac{1}{R1} + \frac{1}{R2} + ...\frac{1}{Rn}$

Im Spezialfall von nur zwei parallel geschalteten Widerständen kann man die Formel auch umstellen

$\frac{1}{Rt} = \frac{1}{R1} + \frac{1}{R2}$

Zu

$Rt = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$

^{Simulieren Sie diese Schaltung – Mit CircuitLab erstellter Schaltplan}

Der Gesamtstrom im Stromkreis ist It = V/Rt

Gemäß KCL ist es = I1+I2, wobei I1 der Strom ist, der durch den Widerstand R1 fließt, und I2 der Strom ist, der durch den Widerstand R2 fließt.

Wenn wir ersetzen (Ohmsches Gesetz):

V/Rt = V1/R1+V2/R2. Aber da die Widerstände parallel sind V1 = V2.

Da sich zwischen der Spannungsquelle und den Widerständen kein Widerstand befindet, ist V = V1 = V2.

V/Rt = V1/R1+V2/R2 -> V/Rt = V/R1+V/R2 und wenn wir durch V teilen, erhalten wir 1/Rt = 1/R1 + 1/R2.