Bewerten der Grenze eines Problems mit einer Wurzel im Zähler

Question

Bewerten der Grenze eines Problems mit einer Wurzel im Zähler

Chris T

$lim_{X \to 16} \frac{\sqrt[4]{X} - 2}{X - 16}$ $\lim_{x\to16}\frac{\sqrt[4]x-2}{x-16}$

Mein Verdacht ist, dass ich das Konjugat finden muss, um dies in einer besser faktorisierbaren Form zu erhalten. Von dort aus kann ich mich anschließen $16$ um die Grenze zu finden. Das einzige Problem ist, dass ich nicht ganz sicher bin, wie ich das faktorisieren soll. Dies ist meine erste Calc-Klasse und ich habe so etwas noch nie zuvor faktorisiert. Ich habe das folgende Format gefunden, um diese Art von Problem zu faktorisieren:

(A - B) (A^{3} + A^{2} B + A B^{2} + B^{3}) = A^{4} - B^{4}

$(a-b)\left(a^3+a^2b+ab^2+b^3\right) = a^4-b^4$

Aber ich bin ziemlich verwirrt darüber, wie ich es anwenden soll (wende ich es auf den Zähler an und versuche dann, den Nenner in eine ähnliche Form zu bringen, um Dinge aufzuheben?). Tut $a = x^\frac14$ , Und $b = 2$ ? Ich habe das Gefühl, dass der schwierigste Teil dieses Problems das Faktorisieren ist, nicht das Kalkül.

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grand_chat · Answer 1

Hinweis: Verwenden Sie die Identität $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ um die Differenz zweier Quadrate zu faktorisieren.

Sie können den Nenner faktorisieren, indem Sie das erkennen $x-16$ ist die Differenz zweier Quadrate: $x-16=(\sqrt x-4)(\sqrt x+4)$ . Dann Faktor $\sqrt x - 4$ indem wir es als die Differenz zweier Quadrate erkennen ...

Das hat bei mir funktioniert - ich konnte den Nenner faktorisieren und dann von oben streichen, sodass ich mit 1/32 zurückblieb, nachdem ich 16 eingesteckt hatte. Danke!

Reece M · Answer 2

Die Grenze ist eine unbestimmte Form. Wenn Sie das Limit auswerten, erhalten Sie $\frac{0}{0}$ . Sie können also die Regel von L'Hopital anwenden.

lim_{X \to 16} \frac{\sqrt[4]{X} - 2}{X - 16} = lim_{X \to 16} \frac{\frac{D}{D X} (\sqrt[4]{X} - 2)}{\frac{D}{D X} (X - 16)} .

$\lim_{x\rightarrow16}\frac{\sqrt[4]{x}-2}{x-16}=\lim_{x\rightarrow16}\frac{\frac{d}{dx}\left(\sqrt[4]{x}-2\right)}{\frac{d}{dx}\left(x-16\right)}.$

Paramanand Singh · Answer 3

Die Standardgrenze

\begin{matrix} (1) & lim_{X \to A} \frac{X^{N} - A^{N}}{X - A} = N A^{N - 1} \end{matrix}

$\lim_{x \to a}\frac{x^{n} - a^{n}}{x - a} = na^{n - 1}\tag{1}$ kommt zur Rettung. Hier ist a = 16, n = 1/4 und damit die gewünschte Grenze

\frac{1}{4} \cdot 16^{- 3 / 4} = \frac{1}{32}

$\dfrac{1}{4}\cdot 16^{-3/4} = \dfrac{1}{32}$

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Chris T

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grand_chat

Chris T

Reece M

Paramanand Singh

So finden Sie limx→2|x−2|2x−x2limx→2|x−2|2x−x2\lim_{x\to 2}\frac{|x-2|}{2x-x^2}

Finden der Ableitung einer Funktion mit Grundprinzipien

Wie berechnet man den Wert einer multivariablen Grenze?

Eine Grenzwertberechnung unter Verwendung des Riemann-Integrals

Zeigen Sie, dass die Folge nach unten beschränkt ist durch 2–√2{\sqrt 2}

Ableitung mit Grenzwertdefinition berechnen

Was ist limk→0f(k)=2+k32cos1k2limk→0f(k)=2+k32cos⁡1k2\lim\limits_{k \to 0}{f(k) = 2 + k^{\frac{3}{ 2}}\cos {\frac{1}{k^2}}}

Beweis der Korrektheit der alternativen Ableitungsdefinition

Beweisen Sie, dass eine konvergente Folge entweder ein Minimum, ein Maximum oder beides hat.

Festgefahren, um zu beweisen, dass ∣z∣2∣z∣2\mid z\mid^2 in zzz nicht analytisch ist