Bezieht sich die Form des Universums auf die Krümmung der Raumzeit im 5-dimensionalen Raum? [Duplikat]

Nein, Ihr Glaube ist nicht richtig. Wir betten, zumindest in der Allgemeinen Relativitätstheorie (GR), unsere Raumzeit nicht in einen höherdimensionalen Raum ein (oder wie Sie sagten, in 4 Raumdimensionen).

Obwohl ich zustimme, dass es möglich ist, sich viele gekrümmte Oberflächen als in eine höhere Dimension eingebettet vorzustellen, machen wir GR nicht so. Tatsächlich ist das Bild, das Sie haben, eines der irreführendsten, um die Mathematik von GR zu interpretieren.

Was also passiert, ist, dass Sie auf Ihre 4-dimensionale Mannigfaltigkeit beschränkt sind und nicht wissen, was sich außerhalb davon befindet, so wie eine Ameise, die auf eine Kugel beschränkt ist, sich diese nur als einen 2-dimensionalen Raum vorstellen würde und nicht wüsste, dass sie in einen 3 dimensionaler Raum.

Nun, um mit solchen Problemen fertig zu werden, hatte Gauß die richtige mathematische Maschinerie gefunden, die von Reimann verfeinert wurde. Tatsächlich wird das Ergebnis, das Sie über die Winkelsummen eines Dreiecks auf einer gekrümmten Oberfläche angeben, ohne Einbettung der Oberfläche in eine höhere Dimension abgeleitet. Wir schaffen es herauszufinden, ob der Raum gekrümmt ist oder nicht, indem wir in diesem Raum bleiben und ihn nicht von außen sehen (durch Einbetten).

Die Mathematik beginnt mit dem Gauß-Bonnet-Theorem und führt dann zur Reimanischen Geometrie. Was wir berechnen, ist die Eigenkrümmung. Zum Beispiel: Stellen Sie sich einen Zylinder vor, Sie sehen ihn vielleicht als gekrümmt, aber es ist keine gekrümmte Oberfläche. Es hat keine Eigenkrümmung. Rein mathematisch muss man zeigen, dass der Reimann-Krümmungstensor verschwindet, aber das sieht man auch intuitiv. Andererseits ist eine Kugel gekrümmt.

Der Zylinder hat eine äußere Krümmung (die durch Einbetten berechnet werden kann), aber keine innere Krümmung, während eine Kugel eine innere Krümmung hat.

GR ist in der Sprache der Eigenkrümmung formuliert. Es ist sicherlich nichts Falsches daran, beispielsweise eine 2-Sphäre zu untersuchen, die in einen dreidimensionalen Raum eingebettet ist. Aber es ist nicht notwendig und zu verlangen, dass ein solcher höherdimensionaler Raum überhaupt existiert, ist eine unangemessene Einschränkung. Es ist wunderbar zu erkennen, dass eine 2-Kugel einfach nur in zwei Dimensionen existieren kann: Die Geometrie ist auf der Oberfläche kodiert .

Es besteht keine Notwendigkeit für einen höherdimensionalen Raum, in den die räumliche Mannigfaltigkeit eingebettet werden kann. Die Riemann-Krümmung ist ein Maß für die Eigenkrümmung der Oberfläche – sie ist unabhängig von und erfordert keine Einbettung.

Der Riemann-Tensor ist die fundamentale Größe, die die Eigenkrümmung von Flächen beschreibt. Eine schöne Art zu visualisieren, wie es die Krümmung intrinsisch "misst" (ohne Bezugnahme auf einen Einbettungsraum), besteht darin, zu untersuchen, wie ein einzelner Vektor,$V^\mu$, entsteht, wenn es parallel entlang zweier unterschiedlicher Kurven transportiert wird,$C$Und$C'$. Das folgende Bild stammt aus Nakahara 7.3:

Starten a$p$, Paralleltransport von$V^\mu(p)$Zu$q$ein Abstand$\epsilon$weg mit$C$gibt$V^\mu_C(q) = V_0^\mu - V_0^\kappa \Gamma^\mu_{\nu \kappa}(p)\epsilon^\nu$. Dann, entlang von$q$ein Abstand$\delta$Zu$r$gibt

$$V^\mu_C(r) = V^\mu_C(q)-V^\kappa_C(q)\Gamma^\mu_{\nu \kappa}(q)\delta^\nu$$ als was wir schreiben können $$V^\mu_C(r) \simeq V_0^\mu - V_0^\kappa\Gamma^\mu_{\nu \kappa}(p)\epsilon^\nu - V_0^\kappa\Gamma^\mu_{\nu \kappa}(p)\delta^\nu - V_0^\kappa[\partial_\lambda \Gamma^\mu_{\nu \kappa}(p)-\Gamma^\rho_{\lambda \kappa}(p)\Gamma^\mu_{\nu \rho}(p)]\epsilon^\lambda\delta^\nu$$ wo wir Bedingungen bis zur zweiten Ordnung eingehalten haben$\epsilon$Und$\delta$.

Sie können die gleiche Übung entlang der anderen Kurve machen,$C'$. Dann, wenn Sie die Differenz der Vektoren an dem Punkt nehmen$r$du erhältst

$$V^\mu_{C'}(r) - V^\mu_C(r) = V_0^\kappa[\partial_\lambda \Gamma^\mu_{\nu \kappa}(p) - \partial_\nu \Gamma^\mu_{\lambda \kappa}(p) - \Gamma^\rho_{\lambda \kappa}(p)\Gamma^\mu_{\nu \rho}(p) + \Gamma^\rho_{\nu \kappa}(p)\Gamma^\mu_{\lambda \rho}(p)]\epsilon^\lambda \delta^\nu = V_0^\kappa R^\mu_{\kappa \lambda \nu}\epsilon^\lambda \delta^\nu,$$ Wo$R^\mu_{\kappa \lambda \nu}$ist der Riemann-Tensor. Wir können uns also die Riemann-Krümmung so vorstellen, dass sie aus der Tatsache entsteht, dass die Orientierung eines parallel transportierten Vektors von der Bahn abhängt, die auf gekrümmten Oberflächen zurückgelegt wird. Wichtig ist, dass es keinen Hinweis auf einen Einbettungsraum gibt.

Natürlich ist es oft hilfreich, sich Räume mit positiver räumlicher Krümmung als Kugeln vorzustellen , die in einem höherdimensionalen Raum existieren, aber das liegt daran, dass wir Menschen es gewohnt sind, die Dinge so zu sehen. Ein Teil des Spaßes an der Differentialgeometrie besteht darin, zu lernen, diese Wahrnehmungsgewohnheiten aufzugeben und Oberflächen in Bezug auf ihre intrinsische Geometrie zu verstehen.