Beziehung zwischen Kräften und potentieller Energie

Können Sie erklären, warum wir potentielle Energie nicht entsprechend einer nicht-konservativen inneren Kraft definieren können?

Um die Beziehung zwischen zwei Begriffen zu untersuchen, müssen wir die Definitionen jedes Begriffs betrachten:

a) Kräfte:

• 1) innere Kräfte sind diejenigen, die innerhalb eines Körpers wirken (beachten Sie, dass in der Technik auch eine Struktur als Körper betrachtet wird), sie interagieren zwischen den Teilen eines Körpers und halten ihn zusammen. Wenn ein Körper elastisch ist , kann er eine innere Kraft haben, wenn er über die Linie des natürlichen Gleichgewichts hinaus zusammengedrückt oder gedehnt wird.
• 2) Kontaktkräfte (oder aufgebrachte Kräfte) sind solche, die von außen wirken und mit einem Körperteil in Kontakt stehen. Ein Druck oder ein Zug leisten positive Arbeit, während Reibung und Widerstand negative Arbeit an einem Körper leisten
• 3) berührungslose Kräfte (Schwerkraft, elektrisch und magnetisch) können einen Körper berührungslos beschleunigen. Wir können diese Kräfte als elastisch betrachten , wenn wir beispielsweise B und den Boden mit einer idealen Feder verbinden, die sich ausdehnt, wenn wir sie wie in der unteren Skizze trennen:

b) Potentielle Energie

Mechanische Energie (ME) ist die Fähigkeit eines Körpers, [mechanische Arbeit] zu verrichten. Ein Körper hat mich wegen:

• 1) Bewegung : kinetische Energie ist definiert als die Fähigkeit eines Körpers, Arbeit zu verrichten. Wenn ein massiver Körper A auf einen anderen Körper B auftrifft, gibt er B etwas KE und verrichtet Arbeit. Wenn KE von einem Körper B wegen einer konservativen Kraft (2,3) verloren geht, ist es konserviertes PE
• 2) Position : Wenn ein Körper von der Quelle der berührungslosen Kraft entfernt ist, hat er PE und er wird den KE verlieren
• 3) Zustand (komprimiert/gedehnt): Wenn ein Körper elastisch ist , kann er PE haben, er wird dazu neigen, die Position des natürlichen Gleichgewichts zu erreichen und an einem anderen Körper zu arbeiten

Potentielle Energie ist nur mit elastischen, konservativen Kräften verbunden, die auf einen Körper in einer Weise wirken, die nur von der Position des Körpers im Raum abhängt. Diese Kräfte können an jedem Punkt im Raum durch einen Vektor dargestellt werden, der ein sogenanntes Vektorfeld oder Kraftfeld bildet

Eine elastische Kraft ist konservativ , weil sie die KE erhält, die sie einem Körper als potentielle Energie abzieht. In der unteren Skizze hat Körper B, wenn er in die Luft geschossen wird, PE = 0 und KE (mgh) = 10 (mg) * h, wenn er h/2 erreicht, hat er KE = 5 * h und PE = 5 * h , und bei Höhe h hat KE = 0 und PE = 10 * h: ME ist costant = mgh.

mechanische Energie ist die Summe aus potentieller Energie und kinetischer Energie ($ME = KE +PE$. Es ist die Energie, die mit der Bewegung und Position eines Objekts verbunden ist. Der Erhaltungssatz der mechanischen Energie besagt, dass in einem isolierten System, das nur konservativen Kräften ausgesetzt ist, die mechanische Energie konstant ist. Wenn ein Objekt in die entgegengesetzte Richtung einer konservativen Nettokraft bewegt wird, erhöht sich die potentielle Energie.

Dies haben Sie in einer anderen Antwort erfahren . Du fragst jetzt:

Nichtkonservative Kräfte sind solche, die nicht vom Anfangs- und Endzustand abhängen, sondern vom eingeschlagenen Weg. Wenn eine solche Kraft wie in einem System als innere Kraft wirkt , warum können wir dann nicht potentielle Energie definieren ?

• Wahrscheinlich ist Ihnen inzwischen klar, dass PE nicht mit einer nichtkonservativen Kraft in Verbindung gebracht werden kann, dies wäre ein Widerspruch in sich , da PE die erhaltene Energie ist
• Außerdem ist außer der Federkraft keine Schnittgröße bekannt . Wenn andere nicht konservative Kräfte in einem Körper existieren oder existierten, könnten wir niemals eine mit ihnen verbundene PE definieren. Die einzigen mit PE verbundenen Kräfte sind die berührungslosen Kräfte und die innere Federkraft. Bei Interesse finden Sie hier Details zur Lagerung von PE in einer Feder.

Potenzielle Energie ist negativ von der Arbeit, die von konservativen Kräften geleistet wird. Der Grund, warum wir potentielle Energie definieren, ist, damit wir das Ergebnis erhalten können:

An einem Körper verrichtete Arbeit = Änderung der potentiellen Energie des Körpers (wenn nur konservative Kräfte auf den Körper wirken) dies wird durch die Definition der potentiellen Energie bewiesen.

Nehmen wir jedoch an, wir würden potentielle Energie für eine nicht konservative Kraft definieren. An einem Punkt x sei die potentielle Energie U. An einem Punkt y sei die potentielle Energie U2. Wir haben potentielle Energie definiert, aber es gibt keinen Nutzen dafür. Der Unterschied in der potentiellen Energie wird uns keine erledigte Arbeit geben. Es gibt keine Möglichkeit, potenzielle Energie mit geleisteter Arbeit gleichzusetzen. Es vereinfacht die Berechnung der geleisteten Arbeit nicht und ist nutzlos. Deshalb definieren wir keine potentielle Energie für nicht konservative Kräfte. Das Konzept der Arbeit besteht darin, komplizierte Systeme zu vereinfachen, bei denen die Newtonschen Gesetze der Mechanik nicht ausreichen.

Wenn Sie sich fragen, warum ich potentielle Energie an einem Punkt x betrachtet habe, liegt das daran, dass potentielle Energie als die Energie definiert ist, die ein Körper aufgrund seiner Position, Ausrichtung oder seines Zustands enthält. Im Allgemeinen ist potentielle Energie aufgrund ihrer Position (Schwerkraft und Feder). Ich hätte die anderen Faktoren berücksichtigen können, und es gäbe immer noch keinen bekannten Weg, potenzielle Energie mit der Arbeit von nicht konservativen Kräften gleichzusetzen.

Wenn Sie ein Beispiel im Sinn haben, könnte ich darauf hinweisen, was das Problem ist. Aber Sie können mathematisch beweisen, dass eine nicht konservative Kraft nicht als Gradient eines Potentials geschrieben werden kann. Und das Gegenteil ist auch wahr. Sie können mathematisch zeigen, dass ein Theoren, das eine Kraft ist, konservativ ist, es kann als Gradient eines Potenzials geschrieben werden.

Arbeiten:

Wenn es dann konservativ ist$\mathbf F = -\nabla U$. Deshalb:

Da wir eine mathematische Gleichheit haben:$\nabla U(\mathbf r(t))\cdot\mathbf{r}'(t) = \left[U(\mathbf r(t))\right]'$. Daher die Arbeit:$W = U(\mathbf r(t_0)) - U(\mathbf r(t_1))$.

Wir können ein Kraftfeld durch Potentiale beschreiben. Mathematisch müssen wir einen divergenzfreien und einen rotationsfreien Teil des Kraftfeldes trennen. Wenn wir ein Kraftfeld wollen$\mathbf F$zu schreiben, wird sein:

Das heißt, es gibt zwei Potentiale: Ein skalares Potential$\phi$und ein Vektorpotential$\mathbf A$der jedes Kraftfeld beschreiben kann. Wenn das Kraftfeld jedoch konservativ ist, dann$\nabla\times\mathbf F = \mathbf 0$und deshalb$\mathbf F = \nabla\phi$. Und dann können wir das potentielle Energiewesen identifizieren$U = -\phi$.

Die Beziehung zwischen der potentiellen Energie und dem, was Sie "konservative" Kraft nennen, ist:

Wo${\bf n}$ist die Richtung senkrecht zur Äquipotentialfläche, die durch einen Punkt verläuft$P$. Dann die mechanische Arbeit$dW$von der Kraft gemacht${\bf F}$auf WELCHEM Weg auch immer$dL$die am Punkt P beginnt, ist

Wo${\bf n}\cdot dL$ist die Projektion des Vektors$dL$auf dem Einheitsvektor${\bf n}$.

Lassen Sie uns nun durch bezeichnen$S$die durchlaufende Äquipotentialfläche$P$, und von$S'$, das, was durchgeht$P'$. Wie Sashurocks sagt, ist die Potentialdifferenz zwischen den beiden Oberflächen

Jetzt hat jeder Pfad, den Sie zwischen P und P' wählen, dieselbe Projektion auf den Vektor n. Also die Potentialdifferenz in FIXED, siehe Gleichheit (2), denn ∂U/∂n ist fix und n∙dL ist fix. Sie können also dU nicht von dem Weg zwischen P und P' abhängig machen.

Viel Glück!