Binomialentwicklung nichtkommutativer Operatoren

Ich möchte die allgemeine Ausdehnung von bestimmen

$(A+B)^n$,

wobei [A,B]≠0

Der Ausbau von$(A+B)^n$für Nicht-Pendeln ist A und B die Summe von$2^n$unterschiedliche Begriffe. Jeder Begriff hat die Form

$$X_1X_2...X_n\;,$$ Wo$X_i=A$oder$X_i=B$, für alle möglichen Fälle (es gibt 2^n mögliche Fälle). Zum Beispiel: $$(A+B)^3=AAA+AAB+ABA+ABB+BAA+BAB+BBA+BBB$$

Sie können verstehen, wie diese Terme immer wie oben beschrieben generiert werden, indem Sie Binärzahlen betrachten. Lassen Sie "A" "0" darstellen und "B" "1" darstellen. Dann entspricht jeder Term einer binären Zahl von 0 bis 2^n-1. ZB im Fall n=3 000.001.010.011.100.101.110.111.

Sie können durch Induktion beweisen, dass die obigen Aussagen für beliebiges n wahr sind, indem Sie überlegen, was die Anwendung eines anderen Faktors von ist$(A+B)$tut zu$(A+B)^{n-1}$. Die neuen Terme aus der Verteilung des „A“ in (A+B) machen nur Kopien der bisherigen „Binärzahlen“ (von 0 bis$2^{n-1}-1$), aber mit einer anderen "Bitlänge". Die neuen „B“-Terme erzeugen den Rest der „Binärzahlen“ aus$2^{(n-1)}$Zu$2^{n}-1$weil sie entsprechen$2^{n-1}$plus die zuvor generierten Terme.

Eine nicht kommutative Binomialformel ist kein eindeutiger Begriff. Hier betrachten wir die Formel$^1$

$$\begin{align} (\hat{A}+\hat{B})^n ~=~&\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix}n \\k \end{pmatrix}(\hat{C}^k\hat{\bf 1})\hat{B}^{n-k}, \cr \hat{C}~\equiv~&\hat{A}+ [\hat{B}, \cdot]~\equiv~\hat{A}+ L_\hat{B}- R_\hat{B}, \end{align}\tag{1}$$ aus Ref. 1, was wiederum äquivalent ist zu $$e^{\hat{A}+\hat{B}}~=~(e^{\hat{C}}1)e^{\hat{B}}, \tag{2}$$ $$(e^{\hat{C}}\hat{\bf 1})~=~e^{\hat{A}+\hat{B}}e^{-\hat{B}}, \tag{3}$$ oder $$(e^{t\hat{C}}\hat{\bf 1})~=~e^{t\hat{A}+t\hat{B}}e^{-t\hat{B}}. \tag{4}$$ Wo$t\in\mathbb{R}$ist ein Parameter.

Beweis von Gl. (4): Beachten Sie zunächst, dass es für trivial wahr ist$t=0$. Als nächstes differenziere seine linke und rechte Seite bzgl.$t$um zu zeigen, dass die linke und die rechte Seite (gemeinsam als$\hat{S}$) erfüllen dieselbe ODE:

$$\hat{S}^{\prime}(t)~=~\hat{C}\hat{S}(t)~\equiv~\hat{A}\hat{S}(t)+ [\hat{B}, \hat{S}(t)].\tag{5}$$ Daher sind die linken und rechten Seiten von Gl. (4) muss gleich sein.$\Box$

Verweise:

1. W. Wyss, arXiv:1707.03861 (Huttipp: Dan & BMRodriguez-Lara .)

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$^1$ Notation: Beachten Sie, dass der Operator$\hat{C}$bringt Operatoren zu Operatoren, zB

$$\begin{align} (\hat{C}\hat{\bf 1})~=~&\hat{A}, \cr (\hat{C}^2\hat{\bf 1})~=~&\hat{A}^2 + [\hat{B},\hat{A}],\cr (\hat{C}^3\hat{\bf 1})~=~&\hat{A}^3 + [\hat{B},\hat{A}^2] + [\hat{B},[\hat{B},\hat{A}]],\end{align}\tag{6}$$ und so weiter.

Wenn$[A,B]=0$dann bekommst du bekanntlich das übliche

$$(A+B)^n = \sum_{p=0}^n C^n_p A^{n-p}B^p$$ Wenn jetzt $[A,B]\neq 0$jeder Term in der Summe (für jeden $p$) zerfällt in eine Summe von $C^n_p$Begriffe aller möglichen Permutationen von $(n-p)$ $A$s und $p$ $B$s, ohne Rücksicht auf die Reihenfolge von $A$s und $B$S. Äquivalent zur Summe aller möglichen Permutationen von $(n-p)$ $A$s und $p$ $B$s geteilt durch $p!(n-p)!$ $$\begin{align*} (A+B)^n &= \sum_{p=0}^n \left(\frac{1}{p!(n-p)!}\sum_{\text{perm}} \left\{A^{n-p}B^p\right\}\right)\\ &= \sum_{p=0}^n \left(\sum_{\text{perm no order}} \left\{A^{n-p}B^p\right\}\right) \end{align*}$$

Ich weiß nicht, ob es eine schöne Formel gibt, die aussieht

$$(A+B)^n = \sum_{p=0}^n C^n_p A^{n-p}B^p + \text{commutators}$$ Natürlich können Sie die Begriffe in jeder der Permutationen immer neu anordnen, aber ich bezweifle, dass dies allein in Bezug auf Kommutatoren etwas Schönes und Prägnantes ergibt.

Es gibt eine nette Formel, die das Ergebnis in Bezug auf die Binomialentwicklung plus Terme liefert, die sich auf die nichtkommutative Algebra beziehen

https://arxiv.org/abs/1707.03861