Colpitts-Oszillator: Probleme bei der Einhaltung des Barkhausen-Kriteriums, ist dieses Kriterium dort unzureichend?

Ich versuche, einen Colpitts-Oszillator zu simulieren.

Ich habe die Übertragungsfunktion des Tiefpassfilters dieser Schaltung bestimmt:

Ich bin zu diesem Ausdruck gekommen:$H(j\omega)=\frac{1}{1-LC_2\omega^2+jR_3\omega(C_2+C_1-LC_1C_2\omega^2)}$

Ich habe das Bode-Diagramm mit Python des Pi-Tiefpassfilters gezeichnet:

Mit:

$C_1=C_2=470pF$

$L=100µH$

$R_3=220$

Phasendiagramm: Verstärkungsdiagramm:

Der rote Punkt zeigt die Frequenz an ($f_0$), die die Eingangssignalphase um 180 Grad verschiebt:

$f_0=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{C_1+C_2}{LC_1C_2}}$

$f_0$soll die Schwingfrequenz sein, denn sie macht mit dem invertierenden Verstärker a$2\pi$Gesamtphasenverschiebung einschließlich des Filters.

Ich bekomme mit den angegebenen Werten:

$|H(j\omega_0)|=1$

$arg(j\omega_0)=-\pi$

Ich entscheide mich für die Verwendung$R2=R1=1k\Omega$

Dann ist die Übertragungsfunktion des Operationsverstärkers (invertierender Verstärker):$T(j\omega)=\frac{-R_2}{R_1}=-1$

Dann kommt das Barkhausen-Kriterium:

$|T(j\omega)*H(j\omega_0)|=1$

$arg(T(j\omega)*H(j\omega_0))=0 [2\pi]$

Aus meiner Sicht wird das Kriterium eingehalten.

Diese Simulation schlägt jedoch fehl und ich verstehe nicht, warum. Es scheint, als wäre die Rückkopplung zu schwach, aber die Verstärkung sollte 1 sein, gerade genug, um Schwingungen aufrechtzuerhalten.

Ich habe auf dieser Seite gelesen, dass Barkhausen eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung ist, um Schwingungen zu bekommen.

Gibt es eine Bedingung, die ich dort vermisse?

UPDATE: TimWescotts Antwort - erster Punkt - hat mir sehr geholfen. Indem ich R1 in meine Berechnungen einbeziehe, erhalte ich nun diese Übertragungsfunktion:

$H(j\omega)\frac{1}{1 + \frac{R_3}{R_1} - L\omega^2(C_2+C_1\frac{R_3}{R_1})+j(\frac{L\omega}{R_1} - R_3C_1C_2\omega^2(L\omega-\frac{1}{C_e \omega}))}$

Mit$C_e=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}$

Der$f_0$Frequenz (die die 180°-Phasenverschiebung erzeugt) ist jetzt:

$f_0=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{1}{R_1R_3C_1C_2}+\frac{1}{LC_e}}$

Es lohnt sich, die Abhängigkeit von zu bemerken$f_0$auf$R_1,R_2$- was vor der Berücksichtigung nicht der Fall war$R_1$.

Dieses Ergebnis widerspricht vielen Formeln, die in Artikeln über diesen Oszillator angegeben wurden – wie dieser .

Es scheint jedoch zu funktionieren, zumindest in Falstad sim .

Mit den gleichen Werten wie oben angegeben - und$R_1=1k\Omega$:

$|H(j\omega_0)|=0.412$

Daher$|T(j\omega_0)|=\frac{1}{|H(j\omega_0)|}=2.42$

Also mit$R_3=1k\Omega, R_2\geqslant2.42k\Omega$das ist genau der Wert, der Schwingungen aufrechterhält (nach Falstad).

Außerdem nach meinen Berechnungen:$f_0=1.092MHz$Dies ist die von Falstad angezeigte Frequenz. Dies ist nicht gleich$\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{C_1+C_2}{LC_1C_2}}=1.038MHz$.

Entweder gibt es ein Problem mit Falstad (ich werde SPICE sim bald ausprobieren) oder die im Artikel (und vielen anderen über diese Schaltung) angegebene Frequenz ist - in diesem Beispiel leicht - falsch. Allerdings erweitert sich die Lücke, wenn$C_1$Und$C_2$Werte werden verringert.