Design des Butterworth-Hochpassfilters

Ich versuche, einen Butterworth-Hochpassfilter mit einer Grenzfrequenz von 8 kHz und einer Abklingrate von 60 dB/Dekade zu entwerfen und später zu implementieren.

Für diesen Filter$\omega_c = 50265.4824 rad/s$(Umrechnung von Hz)

Bisher habe ich die Reihenfolge des erforderlichen Filters wie folgt bestimmt:

$$order = \frac{\text{desired roll off}}{20dB/decade}$$ $$=\frac{60dB/decade}{20dB/decade} = 3_{rd} \text{ order filter}$$

Ich werde diese Gleichung für einen normalisierten Tiefpassfilter dritter Ordnung verwenden:

$$H_{LN}(sL_n)=\frac{a_0}{b_0 +b1SL_n +b_2SL_n^2 +SL_n^3}$$

und ich habe erhalten$b_n$Begriffe aus der folgenden Tabelle, die von GE Carlson-Signalen und linearer Systemanalyse stammen:

also haben wir$b_0 = 1, b_1 = 2,b_2 = 2$

Als nächstes möchte ich diese Übertragungsfunktion in die eines Hochpassfilters umwandeln, also werde ich ersetzen

$$SL_n$$ von $$\frac{\omega _c}{S}$$

mit$a_0 = b_0 \times G_{DC} = 1 \times 1 = 1$

ergebend

$$HL_n(\frac{\omega_c}{S}) = \frac{1}{1 + \frac{2\omega_c}{S} + \frac{2{\omega_c}^2}{S^2} +\frac{\omega_c^3}{S^3}}$$

Ich bin hier ein wenig verloren, wie wir es jetzt getan haben$S^n$Begriffe als 1 über im Nenner. Um die Form der Übertragungsfunktion wieder normal zu machen, habe ich den kleinsten gemeinsamen Nenner bekommen, der dann ergibt:

$$HL_n(\frac{\omega_c}{S}) = \frac{S^3}{S^3 +2\omega_c S^2 + 2\omega_c ^2 S + \omega_c ^3}$$

Verwenden der Bode-Plot-Funktion in Matlab:

wc = 50265.4824;
num = [1]
den = [1 2*wc 2*wc^2 wc^3]
opts = bodeoptions('cstprefs');
opts.FreqUnits='Hz';
G = tf(num, den)
bode(G,opts), grid;

Dies ist eindeutig nicht korrekt, da das, was im Magnitudendiagramm angezeigt wird, das eines Tiefpasses und nicht eines Hochpasses ist, also habe ich irgendwo einen Fehler gemacht. Jede Hilfe wäre sehr willkommen!