Determinante einer Dreiecksmatrix

Lassen

$$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ & & \ddots & \\ & & & a_{nn}\end{pmatrix}$$

Sei deine obere Dreiecksmatrix. Wenn Sie die Spalte ganz links erweitern, sagt Ihnen die Cofaktor-Erweiterungsformel, dass die Determinante von$A$Ist

$$a_{11} \cdot \textrm{det} \begin{pmatrix} a_{22} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ & a_{33} & \cdots & a_{3n} \\ & & \ddots & \\ & & & a_{nn}\end{pmatrix}$$ Jetzt so kleiner $(n-1)$von $(n-1)$Matrix ist auch oberes Dreieck, also können Sie es als berechnen $a_{22}$mal ein $(n-2)$von $(n-2)$obere Dreiecksdeterminante:

$$\textrm{det } A = a_{11} a_{22} \cdot \textrm{det} \begin{pmatrix} a_{33} & a_{34} & \cdots & a_{3n}\\ & a_{44} & \cdots & a_{4n} \\ & & \ddots & \\ & & & a_{nn}\end{pmatrix}$$

Wenn Sie dieses Argument wiederholen, werden Sie schließlich bekommen

$$\textrm{Det } A = a_{11} \cdots a_{n-2,n-2} \cdot \textrm{det} \begin{pmatrix} a_{n-1,n-1} & a_{n-1,n} \\ & a_{nn} \end{pmatrix} = a_{11} \cdots a_{nn}$$

Lassen${\rm U}_n$ein invertierbar sein$n \times n$ obere Dreiecksmatrix . Lassen

$${\rm U}_{n+1} := \begin{bmatrix} {\rm U}_n & {\rm c}_{n+1}\\ {\rm 0}_n^\top & u_{n+1}\end{bmatrix}$$

Unter Verwendung des Schur-Komplements,

$$\det \left( {\rm U}_{n+1} \right) = \det \begin{bmatrix} {\rm U}_n & {\rm c}_{n+1}\\ {\rm 0}_n^\top & u_{n+1}\end{bmatrix} = \left( u_{n+1} - {\rm 0}_n^\top {\rm U}_n^{-1} {\rm c}_{n+1} \right) \det \left( {\rm U}_{n} \right) = u_{n+1} \det \left( {\rm U}_{n} \right)$$

Lassen${\rm U}_{1} =: u_1$. Somit,

$$\begin{aligned} \det \left( {\rm U}_{1} \right) &= u_1\\ \det \left( {\rm U}_{2} \right) &= u_2 \, u_1\\ &\vdots\\ \det \left( {\rm U}_{n} \right) &= \color{blue}{u_n \, u_{n-1}\cdots u_2 \, u_1} \end{aligned}$$

Der Fall wo${\rm U}_n$ist nicht invertierbar, bleibt dem Leser als Übung überlassen.

---

Matrizen Blockmatrizen Schur-Komplement Determinante