Determinante einer positiven semidefiniten Matrix

Für eine hermitische Matrix$A$Um positiv semidefinit zu sein, müssen die führenden Hauptmolltöne nichtnegativ sein, aber es reicht nicht aus, wie das folgende Beispiel zeigt:

Betrachten Sie die Matrix

$$A = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix}$$ mit beiden führenden Prinzip Minoren $$M_{0} = \det(A) = 0*(-1) - 0*0 = 0,$$

$$M_{1} = \det(A_{2,2}) = \det(\begin{bmatrix} 0 & \square \\ \square & \square \\ \end{bmatrix}) = \det(\begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix}) = 0,$$ nicht negativ, aber$A$ist nicht positiv semidefinit, da es einen negativen Eigenwert hat$-1$.

Um zu prüfen, ob es sich um eine hermitische Matrix handelt$A$positiv semidefinit ist, muss man testen, ob alle Hauptuntertöne (nicht nur die führenden Hauptuntertöne) nicht-negativ sind. ( Beweis )

Wenn wir uns das obige Beispiel ansehen, sind die Hauptminoren

$$M_{0,0} = \det(A) = M_0 = 0,$$

$$M_{1,1} = \det(A_{1,1}) = \det(\begin{bmatrix} \square & \square \\ \square & -1 \\ \end{bmatrix}) = \det(\begin{bmatrix} -1 \end{bmatrix}) = -1,$$

$$M_{2,2} = \det(A_{2,2}) = M_1 = 0.$$

Wir sehen das$M_{1,1}$negativ ist, also ist die Matrix nicht positiv semidefinit.