Diagonalisierung/Eigenwerte der unendlichdimensionalen Matrix von N harmonischen Oszillatoren auf einem Ring

Question

Diagonalisierung/Eigenwerte der unendlichdimensionalen Matrix von N harmonischen Oszillatoren auf einem Ring

Physik
Wegintegral
Quantenmechanik
mathematisch-physik
Klein-Gordon-Gleichung

Benutzer7757

Ich habe versucht zu zeigen, dass die Kontinuumsgrenze von N harmonischen Quantenoszillatoren das Klein-Gordon-Feld hervorruft. Anstelle einer üblichen endlichen Zeichenfolge möchte ich es jedoch an einem Ring tun. Daher ist mein Lagrange

L = \frac{M}{2} ({\dot{Q_{1}}}^{2} + {\dot{Q_{2}}}^{2} + . . . . {\dot{Q_{N}}}^{2}) - \frac{M ω^{2}}{2} [(Q_{1} - Q_{2})^{2} + (Q_{2}^{2} - Q_{3}^{2}) + . . . . (Q_{N} - Q_{1})^{2}]

$L=\frac{m}{2}(\dot{q_1}^2+\dot{q_2}^2+.... \dot{q_n}^2)-\frac{m \omega^2}{2}[(q_1-q_2)^2+(q_2^2-q_3^2)+....(q_n-q_1)^2]$

Damit ist die Matrix für V

$V=\begin{pmatrix} 2 & -1 &0 &. &. &. &-1\\-1&2&-1\\0 &-1 &2 &-1 \\.\\.\\.\\-1 &&.&.&.&-1 & 2 \end{pmatrix}$

So dass $L=\frac{m}{2}[\dot{x}^2-\omega^2 x^{T}V{x}]$ . Alle Größen hier sind Matrizen.

Wie finde ich die Eigenwerte dieser Matrix?

Ich habe versucht, eine Rekursionsbeziehung zwischen dem charakteristischen Polynom von zu finden $N$ Und $N-1$ dimensionale Matrix, aber ich habe versagt. Ist das die richtige Methode? Welche andere Methode gibt es?

Nach dem Finden der Eigenwerte kann der Lagrangian in seine Normalmoden getrennt geschrieben werden, und der Propagator oder Kernel kann leicht mit dem des freien Teilchens herausgefunden werden. Die Grenze dieser als $N\to \infty$ sollte das Klein-Gordon-Feld sein.

Aber ich hänge hier fest. Jede Hilfe wird geschätzt.

Peter Krawtschuk

In einigen Fällen (und ich denke, dass deiner auch klappen kann) reicht es aus, den Ansatz zu verwenden

q_{l} = ℜ \exp (i k l - i ω t), 1 \leq l \leq n

$q_l=\Re\exp(ikl-i\omega t),\,1\leq l\leq n$ . Versuchen Sie zu lösen

k

$k$ und zeigen Sie, dass Sie genau die richtige Anzahl von Lösungen haben (

n

$n$ Lösungen). Beachten Sie jedoch, dass Sie in Ihrem Fall den Nullmodus berücksichtigen müssen

q_{l} = v t

$q_l=vt$ -- die starre Drehung -- separat, also müssen Sie suchen

n - 1

$n-1$ nur Lösungen.

Trimok

Entfernen Sie zuerst die Diagonale "2". Dann hast du eine Matrix

V'

$V′$ mit

V' = (a + a^{- 1})

$V′=(a+a^{−1})$ Wo

a^{n} = I d

$a^n=Id$ . Damit hat man leicht die Eigenwerte von

a

$a$ . Und ein Eigenvektor von a ist auch ein Eigenvektor von

V^{'}

$V'$ . Damit hast du die Eigenwerte von

V^{'}

$V'$ , und das Hinzufügen von 2, von

V

$V$ .

Trimok

Entschuldigung, ich habe eine vergessen

(- 1)^{n}

$(-1)^n$ Faktor :

a^{n} = (- 1)^{n} I d

$a^n = (-1)^n Id$

Peter Krawtschuk

@Trimok, das ist nett, aber Sie müssen ein Argument erfinden, um zu zeigen, dass es keine Entartung gibt und Sie jede Wurzel der Einheit im Spektrum von haben

a

$a$ .

Heidar

Ich frage mich, ob es einen tieferen Grund für die Matrix gibt

V

$V$ ist die erweiterte Cartan-Matrix für

s l (N, C) = s u (N)^{C}

$\mathfrak{sl}(N,\mathbb C) = \mathfrak{su}(N)^{\mathbb C}$ , oder genauer gesagt die affine Lie-Algebra

\hat{s l} (N, C)

$\hat{\mathfrak{sl}}(N,\mathbb C)$ .

Trimok

@PeterKravchuk: Richtig, aber offensichtlich, nein? : Der

n

$n$ Wurzeln der Einheit sind verschieden, und sind eingenvalues, und es gibt nicht mehr als

n

$n$ Eigenwerte für a

n

$n$ mal

n

$n$ Matrix, also gibt es keine Entartung. Die Matrix a heißt übrigens Verschiebungsmatrix oder Matrix mit Verschiebungsstruktur.

Trimok

@PeterKravchuk: Vielleicht werden Sie andere Arten von tridiagonalen Matrizen wie diese zu schätzen wissen

Peter Krawtschuk

@Trimok, das meine ich

{I d}^{2} = I d

$\mathrm{Id}^2=\mathrm{Id}$ , aber das bedeutet das nicht

- 1

$-1$ ist ein Eigenwert von

I d

$\mathrm{Id}$ . Wahrscheinlich übersehe ich deine Argumentation. Danke für den Link.)

Trimok

@PeterKravchuk: Vielleicht hast du Recht, aber dein Gegenbeispiel ist ein multiplikatives, auch in diesem Fall ist es ein additives (

a + a^{+}

$a + a^+$ )

Peter Krawtschuk

@Trimok, ich meine die Eigenwerte von

a

$a$ . Woher weißt du, dass sie nicht alle sind, sagen wir,

\pm 1

$\pm 1$ ?

Antworten (1)

Diagonalisierung/Eigenwerte der unendlichdimensionalen Matrix von N harmonischen Oszillatoren auf einem Ring

In einigen Fällen (und ich denke, dass deiner auch klappen kann) reicht es aus, den Ansatz zu verwenden $q_l=\Re\exp(ikl-i\omega t),\,1\leq l\leq n$ . Versuchen Sie zu lösen $k$ und zeigen Sie, dass Sie genau die richtige Anzahl von Lösungen haben ( $n$ Lösungen). Beachten Sie jedoch, dass Sie in Ihrem Fall den Nullmodus berücksichtigen müssen $q_l=vt$ -- die starre Drehung -- separat, also müssen Sie suchen $n-1$ nur Lösungen.
Entfernen Sie zuerst die Diagonale "2". Dann hast du eine Matrix $V′$ mit $V′=(a+a^{−1})$ Wo $a^n=Id$ . Damit hat man leicht die Eigenwerte von $a$ . Und ein Eigenvektor von a ist auch ein Eigenvektor von $V'$ . Damit hast du die Eigenwerte von $V'$ , und das Hinzufügen von 2, von $V$ .
Entschuldigung, ich habe eine vergessen $(-1)^n$ Faktor : $a^n = (-1)^n Id$
@Trimok, das ist nett, aber Sie müssen ein Argument erfinden, um zu zeigen, dass es keine Entartung gibt und Sie jede Wurzel der Einheit im Spektrum von haben $a$ .
Ich frage mich, ob es einen tieferen Grund für die Matrix gibt $V$ ist die erweiterte Cartan-Matrix für $\mathfrak{sl}(N,\mathbb C) = \mathfrak{su}(N)^{\mathbb C}$ , oder genauer gesagt die affine Lie-Algebra $\hat{\mathfrak{sl}}(N,\mathbb C)$ .
@PeterKravchuk: Richtig, aber offensichtlich, nein? : Der $n$ Wurzeln der Einheit sind verschieden, und sind eingenvalues, und es gibt nicht mehr als $n$ Eigenwerte für a $n$ mal $n$ Matrix, also gibt es keine Entartung. Die Matrix a heißt übrigens Verschiebungsmatrix oder Matrix mit Verschiebungsstruktur.
@PeterKravchuk: Vielleicht werden Sie andere Arten von tridiagonalen Matrizen wie diese zu schätzen wissen
@Trimok, das meine ich $\mathrm{Id}^2=\mathrm{Id}$ , aber das bedeutet das nicht $-1$ ist ein Eigenwert von $\mathrm{Id}$ . Wahrscheinlich übersehe ich deine Argumentation. Danke für den Link.)
@PeterKravchuk: Vielleicht hast du Recht, aber dein Gegenbeispiel ist ein multiplikatives, auch in diesem Fall ist es ein additives ( $a + a^+$ )
@Trimok, ich meine die Eigenwerte von $a$ . Woher weißt du, dass sie nicht alle sind, sagen wir, $\pm 1$ ?

Peter Krawtschuk · Answer 1

Sie wollen die Eigenfrequenzen dieses Systems finden. Beachten Sie zunächst die Existenz des Nullmodus:

Q_{l} = v T + ϕ_{l},

$q_l=vt+\phi_l,$ es ist das 'Gleichgewicht', das sich mit beliebiger Geschwindigkeit dreht.

Als nächstes haben wir die Gleichungen

{\ddot{Q}}_{l} = - ω^{2} (2 Q_{l} - Q_{l - 1} - Q_{l + 1})

$\ddot{q}_l=-\omega^2(2q_l-q_{l-1}-q_{l+1})$ und die Periodizitätsbedingung

q_{l + n} = q_{l}

$q_{l+n}=q_l$ . Verwenden wir den Ansatz für die Eigenvektoren

Q_{l} = ℜ A \exp (ich k l - ich Ω T) .

$q_l=\Re A\exp(ikl-i\Omega t).$ Ersatz liest

Ω^{2} = ω^{2} (2 - e^{- ich k} - e^{ich k}) = 2 ω^{2} (1 - \cos k),

$\Omega^2=\omega^2(2-e^{-ik}-e^{ik})=2\omega^2(1-\cos k),$ während die Periodizitätsbedingung ist

n k = 2 π m, m \in Z

$nk=2\pi m,\,m\in\mathbb{Z}$ . Lassen Sie uns einschränken

k

$k$ Zu

(0, 2 π)

$(0,2\pi)$ , um eine Doppelzählung der Eigenvektoren und des Nullmodus auszuschließen. Dann

m = 1, \dots, n - 1

$m=1,\dots,n-1$ , und die Eigenfrequenz lautet:

Ω^{2} = 2 ω^{2} (1 - \cos \frac{2 π M}{N}), M \in {1 \dots N - 1} .

$\Omega^2=2\omega^2(1-\cos \frac{2\pi m}{n}),\,m\in\{1\dots n-1\}.$ So haben wir

n - 1

$n-1$ Vektoren der Form

q_{l} = ℜ A \exp (i k l - i Ω t)

$q_l=\Re A\exp(ikl-i\Omega t)$ mit der obigen Eigenfrequenz und einem Nullmodus gegeben durch

q_{l} = v t + l δ

$q_l=vt+l\delta$ ,

δ

$\delta$ der Gleichgewichtsabstand mit der Frequenz Null ist. Das gesamte Spektrum liest sich also wie folgt

Ω^{2} = 2 ω^{2} (1 - \cos \frac{2 π M}{N}), M \in {0 \dots N - 1} .

$\Omega^2=2\omega^2(1-\cos \frac{2\pi m}{n}),\,m\in\{0\dots n-1\}.$ (Beachten Sie, dass dies das gesamte Spektrum ist, da wir alle gefunden haben

n

$n$ Eigenvektoren).

Bearbeiten: Beachten Sie, dass während $n-m$ entspricht dem gleichen Eigenwert wie $m$ , haben wir zwei verschiedene Eigenvektoren für jeden Eigenwert, weil $A$ kann komplex sein. ZB können wir nehmen $q_l=\cos(kl-\Omega t)$ Und $q_l=\sin(kl-\Omega t)$ , $k=\frac{2\pi m}{n}$ .

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