Die aerodynamische Stabilität der Kegelstumpfform

Satz: Wir gehen von folgendem aus.

1) Die von der Luft auf eine Oberfläche ausgeübte Kraft ist reiner Druck, also senkrecht zur Oberfläche ohne Reibung. Der Druck steigt in Bezug auf die Größe der Oberflächennormalkomponente der einfallenden Luftströmungsgeschwindigkeit und ist Null, wenn die Oberflächennormalkomponente negativ wird.

2) Die Oberfläche der Kapsel ist axialsymmetrisch. Beschriften Sie den Schnittpunkt der Symmetrieachse und der Fläche (unten), die dem einströmenden Luftstrom zugewandt ist$B$. Der nach innen gerichtete Normalenvektor$\vec n$eines infinitesimalen Oberflächenstücks schneidet entweder die Achse an einem Punkt$N$einige endliche Entfernung von$B$oder$\vec n$parallel zur Achse. Der Massenmittelpunkt der Kapsel$C$liegt dazwischen$B$Und$N$.

Die Kapsel erreicht aerodynamische Stabilität.

Bevor ich den Beweis dieses Satzes präsentiere, gebe ich ein plausibles Spielzeugmodell dieser Luftströmungsdruckfunktion. Die realistische Funktion wird sicherlich komplizierter sein.

Interessanterweise stieß ich jedoch zweieinhalb Monate, nachdem ich diese Antwort gepostet hatte, auf die Theorie der Hyperschall-Aerodynamik, die überraschenderweise die folgende Ableitung als korrekte Berechnung für den Druck des Hyperschall-Luftstroms (Mach 3-5) auf einer weitgehend axialen Ebene vollständig bestätigte symmetrischer Körper mit stumpfer Oberflächengeometrie. vergleiche Gleichungen (11-2) und (11-3) von Kapitel 11 über die Hyperschall-Aerodynamik von WH Masons Vorlesung über Konfigurationsaerodynamik . Suchen Sie in dieser begleitenden PPT zu diesem Kapitel nach "Newtonian Impact Theory" .

Angenommen eine Luftsäule mit einer infinitesimalen Querschnittsfläche$dA$mit einer Facette kollidieren, deren Normalenvektor einen Winkel bildet$\theta\in\big[0,\frac\pi2\big]$mit dem Richtungsvektor der Luftströmung. Die Luft prallt völlig elastisch an der Facette ab. Die Impulsänderung (alles in der normalen Richtung der Facette) pro Zeiteinheit ist dann$2\rho v^2\cos\theta dA$, Wo$\rho$ist die Dichte des Luftstroms und$v$die Geschwindigkeit davon. Der Bereich, in dem diese Impulsänderung auftritt, ist$\frac{dA}{\cos\theta}$. Teilen Sie die erste Menge durch die zweite, wir erhalten den Druck$p(\theta):=2\rho v^2\cos^2\theta$. Nun prallen die früh ankommenden Teilchen normal von der Oberfläche ab und kollidieren völlig elastisch mit den spät ankommenden Teilchen und prallen wieder zurück zur Oberfläche. Aufgrund der Symmetrie verschwindet die durchschnittliche Teilchengeschwindigkeit in der Nähe der Oberfläche in Richtung der Oberflächennormalen, aber ihre Komponente, die die Oberfläche berührt, bleibt. Makroskopisch bewegt sich die Flüssigkeit im Mittel als Ganzes entlang der Tangente der Oberfläche. Alternativ können wir den völlig unelastischen Stoß des Luftmoleküls mit der Oberfläche annehmen, so dass der Impuls normal zur Oberfläche vollständig abgebaut wird, nur die tangentiale Komponente unbeeinflusst bleibt, sodass sich die Luftmoleküle nach dem Stoß parallel entlang der Oberfläche bewegen. In diesem Fall ist es klar$p(\theta):=\rho v^2\cos^2\theta$das ist die Hälfte des vorherigen Wertes, da der übertragene Oberflächennormalenimpuls halb so groß ist wie im elastischen Fall. Im Falle eines fraktionierten elastischen Stoßes, der$p(\theta):=(1+\alpha)\rho v^2\cos^2\theta$Wo$\alpha\in[0,1]$ist der Kollisionselastizitätskoeffizient.

Außerdem bleibt der Teil der Objektoberfläche, der im "Schatten" des einströmenden Luftstroms liegt, vom Luftstrom unberührt und erfährt somit keinen Druck.

Nachweisen:

1) 2-dimensional.

Formulieren wir das Problem formal. Lassen$s\in[-s_0,s_0],\,s_0>0$Messen Sie den Abstand mit Vorzeichen vom Schnittpunkt der Symmetrieachse mit der Oberfläche. Bezeichnen Sie den nach innen gerichteten Einheitsnormalenvektor mit at$s$von$\hat n(s)$. Lassen$\theta(s)$sei der Winkel von$\hat n(0)$Zu$\hat n(s)$mit Richtung gegen den Uhrzeigersinn als positive Richtung für den Winkel.$\theta(-s)=-\theta(s)$durch die Achsensymmetrie. Lassen Sie den Winkel aus$\hat n(s=0)$zur Richtung des einströmenden Luftstroms sein$\theta_a$auch mit Richtung entgegen dem Uhrzeigersinn als positive Richtung. Platzieren Sie die Kurve$(x(s),y(s))$in der kartesischen Koordinate so dass$(x(s=0)=0,y(s=0)=0)$und der Massenmittelpunkt liegen bei$(x=0,y=y_c)$. Wir haben$(x(-s),y(-s))=(-x(s),y(s))$. Lassen$p(\beta)$sei der Druck als Funktion des Winkels$\beta$in Bezug auf den einströmenden Luftstrom. Das Drehmoment bei jeder Kurve bzgl$(0,y_c)$Ist$l(s)p(\theta_a-\theta(s))$Wo$l(s)\hat z = \big((x(s),y(s))-(0,y_c)\big)\times \hat n(s)$.

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit gehen wir davon aus$\theta_a>0$. Andernfalls können wir die Koordinate einfach in Bezug auf die spiegeln$y$Achse und bekommen wegen der Achsensymmetrie das gleiche Problem zurück.

Das Gesamtdrehmoment ist, wobei nur die dem einströmenden Luftstrom zugewandte Oberfläche berücksichtigt werden muss,

QED