Die gleiche Anzahl von Primfaktoren und Dezimalstellen.

Eine positive Ganzzahl n, bei der die Anzahl ihrer Dezimalstellen (Basis 10) gleich der Anzahl ihrer unterschiedlichen Primfaktoren ist, hat eine Obergrenze (es gibt ein Maximum n).

Kennt jemand den Beweis dafür?

Denken Sie daran, eine Beziehung zwischen der Anzahl der Ziffern und der Anzahl der Dezimalstellen herzustellen (und 10 X < N ) und beweisen, dass n eine obere Schranke hat. Ich habe versucht, die Tatsache zu verknüpfen, dass die Anzahl der Primzahlen ≤ N Ist N ln ⁡ N , kann aber anscheinend keinen guten Link finden.

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Denken Sie daran, eine Beziehung zwischen der Anzahl der Ziffern und der Anzahl der Dezimalstellen (und 10 ^ x < n) herzustellen und zu beweisen, dass n eine obere Grenze hat. Ich habe versucht, die Tatsache zu verknüpfen, dass die Anzahl der Primzahlen <= n n / (lnn) ist, kann aber anscheinend keinen guten Link finden.
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Antworten (2)

Für alle N -stellige Zahl X wir haben X < 10 N . Lassen P ich sei der ich -te Primzahl. Wenn X hat N Ziffern und N verschiedene Primfaktoren, das haben wir

P 1 P 2 … P N ≤ X < 10 N .

Um den Beweis zu vollenden, muss man also nur das zeigen

P 1 P 2 … P N ≥ 10 N
für alle bis auf endlich viele positive ganze Zahlen N . Können Sie das tun?

Also, ich lg beide Seiten und zeige n < die Summe der Logs, also hat es eine Obergrenze?
@ Jakob, ja. Wenn N groß genug ist,
∑ ich = 1 N Protokoll ⁡ P ich > 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + … + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + … + 1 = N .
Ich verstehe das "0 + 0 + 0 + 0 + 1 + ... + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + ... + 1" nicht ganz.
@ Jacob, lass P k = 101 . Dann 0 < Protokoll ⁡ P ich < 1 , für ich = 1 , 2 , 3 , 4 , 1 < Protokoll ⁡ P ich < 2 für ich = 5 , … , k − 1 , Und 2 < Protokoll ⁡ P ich für ich ≥ k . Somit haben wir Protokoll ⁡ P ich > 1 für alle außer ich = 1 , 2 , 3 , 4 , und wir machen es wieder gut Protokoll ⁡ P k + Protokoll ⁡ P k + 1 + Protokoll ⁡ P k + 2 + Protokoll ⁡ P k + 3 > 2 + 2 + 2 + 2 . So, " N groß genug" bedeutet N ≥ k + 3 .

Wie wäre es mit einem anderen Ansatz?

Um es einfacher zu machen, werde ich eine Zahl als wunderbar definieren, wenn die Anzahl ihrer Dezimalstellen (Basis 10) gleich der Anzahl ihrer verschiedenen Primfaktoren ist.

Dann,

  1. Sei x eine wunderbare Zahl mit n Ziffern.
  2. Wir wissen, dass x wunderbar ist, also hat es n verschiedene Primfaktoren.
  3. Um die Anzahl unterschiedlicher Primfaktoren in x zu maximieren, sollte x die Multiplikation der kleinsten Primfaktoren in der Reihenfolge aufsteigender Zahlen sein (dh x = 2 * 3 * 5 * 7 * 11 ... n Primzahlen).
  4. Primzahlen nach 7 haben jedoch mindestens 2 Ziffern, sodass ihre Multiplikation mit x dazu führt, dass x um mindestens 1 Ziffer länger wird.
  5. Dies kann bis nach 100 so weitergehen, wobei Primzahlen nach 100 dazu führen, dass x um mindestens 2 Stellen in der Länge zunimmt, aber nur 1 zur Menge der unterschiedlichen Primfaktorzerlegung von x hinzufügt.
  6. Dies ist eindeutig nicht tragbar, und schließlich kann die wunderbare Zahl x keine weitere einzigartige Primfaktorzerlegung hinzufügen, da dies dazu führen würde, dass x mehr Stellen an Länge gewinnt, als die einzelne unterschiedliche Primfaktorzerlegung zur Anzahl der unterschiedlichen Primfaktoren von x hinzufügen würde.
  7. Wenn x mit einem nicht eindeutigen Primfaktor multipliziert wird, wird es aufgrund der Natur der Multiplikation schließlich auch länger, erhält aber keine zusätzliche eindeutige Primfaktorzerlegung, sodass x auch nicht mehr wunderbar ist.
  8. Irgendwann kann x nicht mehr gesteigert werden und bleibt trotzdem wunderbar.
  9. Wunderbare Zahlen sind also nach oben begrenzt.
Die gleiche Anzahl von Primfaktoren und Dezimalstellen.
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