Die Gleichung für den Lyapunov-Exponenten verstehen

Question

Die Gleichung für den Lyapunov-Exponenten verstehen

Djamillah

Ich versuche, den Lyapunov-Exponenten für ein einfaches dynamisches System zu berechnen, aber ich glaube, ich habe die Gleichung falsch verstanden. Meine Berechnungen führen ständig zu Null, obwohl ich Anfangsbedingungen und andere Parameter variiere und das System definitiv nicht stabil ist, sondern chaotisch, wenn ich es zeichne. Ich kann anscheinend nicht herausfinden, was falsch ist, zumal wenn ich mir die Gleichung ansehe und nur feststelle, dass der Lyapunov-Exponent immer Null sein sollte! Offensichtlich fehlt mein Verständnis!

Die Gleichung, die ich verwendet habe, ist

λ = lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \sum_{ich = 0}^{N - 1} Protokoll | F^{'} (X_{ich}) |

$\lambda= \lim_{n → \infty} \frac{1}{n} \sum\limits^{n-1}_{i=0} \log \left |f'(x_i) \right|$

Wenn $n\rightarrow \infty$ Ich denke, dass der Lyapunov-Exponent, $\lambda$ , sollte wegen der Null sein $1/n$ Faktor, also was verstehe ich nicht? Ich bin auch etwas verwirrt darüber, was die Iterator-Variable, $i$ , Ist. Ist es der Zeitschritt? Aber sollte der Lyapunov-Exponent nicht Trajektorien miteinander vergleichen? Wie werden diese in die Gleichung aufgenommen? Ich habe das Gefühl, dass ich die Definition des Lyapunov-Exponenten nicht verstanden habe, also hoffe ich, dass mir jemand ein wenig erklären kann!

Gregor Petersen

Denken Sie daran, dass Ihre Summe auch von n abhängt. Wenn die Summe schneller als ~n anwächst, wird der Exponent nicht Null sein.

Djamillah

Danke! Ich erkannte, dass meine Berechnungen eigentlich nicht falsch waren (hoffe ich). Ich habe die Summe 89 erhalten und sie durch die Anzahl der Iterationen 400 geteilt, aber mein Programm hat 89/400 als 0,0 statt 0,22 geschätzt. Ich musste nur die Iterationsnummer in einen Float umwandeln ... seufz

Gregor Petersen

Erstes Gesetz der numerischen Physik: Der Code ist immer gebrochen :)

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Die Gleichung für den Lyapunov-Exponenten verstehen

Denken Sie daran, dass Ihre Summe auch von n abhängt. Wenn die Summe schneller als ~n anwächst, wird der Exponent nicht Null sein.
Danke! Ich erkannte, dass meine Berechnungen eigentlich nicht falsch waren (hoffe ich). Ich habe die Summe 89 erhalten und sie durch die Anzahl der Iterationen 400 geteilt, aber mein Programm hat 89/400 als 0,0 statt 0,22 geschätzt. Ich musste nur die Iterationsnummer in einen Float umwandeln ... seufz
Erstes Gesetz der numerischen Physik: Der Code ist immer gebrochen :)

Wrzlprmft · Answer 1

$λ = lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \sum_{ich = 0}^{N - 1} Protokoll | F^{'} (X_{ich}) |$ $\lambda= \lim_{n → \infty} \frac{1}{n} \sum\limits^{n-1}_{i=0} \log \left |f'(x_i) \right|$

Wenn $n\rightarrow \infty$ Ich denke, dass der Lyapunov-Exponent, $\lambda$ , sollte wegen der Null sein $1/n$ Faktor, also was verstehe ich nicht?

Nein, die Anzahl der Summanden in Ihrer Summe geht in Richtung $∞$ so schnell wie du $\frac{1}{n}$ Faktor geht in Richtung $0$ . Für endlich $n$ (dh in der Anwendung) bedeutet die Gleichung, dass Sie so viele Werte wie möglich erhalten $\left |f'(x_i) \right|$ wie Sie können und durchschnittlich sie.

Ich bin auch etwas verwirrt darüber, was die Iterator-Variable, $i$ , Ist. Ist es der Zeitschritt?

Wenn Sie mit Zeitschritt den Zeitschritt der Integration eines zeitkontinuierlichen Systems (dh einer Differentialgleichung) meinen, dann wenden Sie die falsche Formel an. (Trotzdem sollte die Anwendung dieser Formel Ihnen etwas anderes geben als $0$ , nur nicht der Lyapunov-Exponent.)

Die obige Formel funktioniert nur für zeitdiskrete Systeme (dh Karten), deren Iterationen Sie Zeitschritte nennen können.

Aber sollte der Lyapunov-Exponent nicht Trajektorien miteinander vergleichen? Wie werden diese in die Gleichung aufgenommen?

Wie oben erwähnt, funktioniert die von Ihnen verwendete Gleichung nur für Karten, die keine Trajektorien haben. Angenommen, der aktuelle Zustand unseres Systems ist $x_i$ und der gestörte Zustand ist $x_i+ε$ (mit $ε≠0$ für eine Änderung). Die Trennung Ihres gestörten Systems von Ihrem ungestörten System im nächsten Zeitschritt ist $f(x_i+ε) − f(x_i)$ . Und der „lokale“ Lyapunov-Exponent $λ_i$ – dh der Lyapunov-Punkt für genau den Punkt $x_i$ - Ist:

λ_{ich} = lim_{ε \to 0} Protokoll | \frac{F (X_{ich} + ε) - F (X_{ich})}{ε} | = Protokoll | lim_{ε \to 0} \frac{F (X_{ich} + ε) - F (X_{ich})}{ε} | = Protokoll | F^{'} (X_{ich}) |

$λ_i = \lim_{ε→0} \log \left | \frac{f(x_i+ε) − f(x_i)}{ε} \right | = \log \left | \lim_{ε→0} \frac{f(x_i+ε) − f(x_i)}{ε} \right | = \log \left | f'(x_i) \right |$

Im letzten Schritt verwenden wir die Definition von $f'$ . (Um den „globalen“ Lyapunov-Exponenten zu erhalten, mitteln Sie einfach über die lokalen Exponenten.)

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Djamillah

Gregor Petersen

Djamillah

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Wrzlprmft

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