Konzentrieren wir uns auf das erste Integral. Wir nehmen an, dassA
,B
,e
UndF
sind positive reelle Zahlen und dasC
,G
,D
UndH
sind alle positiven ganzen Zahlen größer gleich eins. Ausgangspunkt ist die Partialbruchzerlegung:
1a + bXC=1b c⋅(BA)c - 1Ce− ichπC( c − 1 )∑p = 0c - 1( -1 _)2 pCx − (AB)1 / ceichπ2 p + 1C
Schreiben Sie nun eine weitere Kopie des obigen mit
( a , b , c )
ersetzt werden durch
( e , f, g)
jeweils und dann Multiplizieren des Originals mit der Kopie ergibt:
1a + bXC1e + fXG=e− ich π( -1C−1G+ 2 )(BA)1 -1C(Fe)1 -1Gb c fG⋅∑p = 0c - 1∑Q= 0G− 1⎛⎝⎜⎜⎜1x- _eich π( 2 p + 1 )C(AB)1C−1x- _eich π( 2 Q+ 1 )G(eF)1G⎞⎠⎟⎟⎟( -1 _)2 pC+2 QGeich π( 2 p + 1 )C(AB)1C−eich π( 2 Q+ 1 )G(eF)1G
Der obige Ausdruck eignet sich perfekt, um die Stammfunktion in Bezug auf zu finden
X
. Nachdem wir dies getan haben, werten wir das Integral bezüglich aus
X
von null bis unendlich und dann berechnen wir die
A
-Derivat
( d− 1 )
mal und dann die
e
-Derivat
( h − 1 )
mal. Nachdem wir dies getan haben, multiplizieren wir das Ganze mit
( -1 _)D+ h/ ((gest− 1 ) ! ( h − 1 ) ! )
. Das gibt:
∫0∞1( a + bXC)D1( e + fXG)HDx =( -1 _)D+ hb c fG( d− 1 ) ! ( h − 1 ) !e− ich π( -1C−1G+ 2 )⋅∂D− 1∂ξD− 1∂h − 1∂ηh − 1⎡⎣⎢⎢⎢(Bξ)1 -1C(Fη)1 -1G∑p = 0c - 1∑Q= 0G− 1⎛⎝⎜−Protokoll(ξB)C+ich π( 2 c q+ c − 2 gp - g)cg _+Protokoll(ηF)G⎞⎠⎟( -1 _)2 pC+2 QGeich π( 2 p + 1 )C(ξB)1C−eich π( 2 Q+ 1 )G(ηF)1G⎤⎦⎥⎥⎥∣∣∣∣∣∣( ξ, η) = ( ein , e )
Es ist klar, dass das Ergebnis noch vereinfacht werden kann, indem man die Kettenregel der Differentiation anwendet.
For[count = 1, count <= 50, count++,
{a, b, e, f} = RandomReal[{0, 10}, 4, WorkingPrecision -> 50];
{c, g, d, h} = RandomInteger[{1, 10}, 4];
I1 = NIntegrate[1/(a + b x^c)^d 1/(e + f x^g)^h, {x, 0, Infinity},
WorkingPrecision -> 30];
I2 = 1/(b c ) 1/(f g ) (-1)^(
d + h)/((d - 1)! (h - 1)!) (D[
Exp[-I Pi (2 - 1/c - 1/g)] (b/xi)^(1 - 1/c) (f/eta)^(1 - 1/g)
Sum[( -1/c Log[ xi/b ] + 1/g Log[eta/f ] + (
I \[Pi] (c - g - 2 g p + 2 c q))/(c g)) (-1)^(
2 p/c + 2 q/g)/((xi/b)^(1/c)
Exp[(I Pi (2 p + 1))/c] - (eta/f)^(1/g)
Exp[(I Pi (2 q + 1))/g]), {p, 0, c - 1}, {q, 0,
g - 1}], {xi, d - 1}, {eta, h - 1}] /. {xi :> a, eta :> e});
If[Abs[I2/I1 - 1] > 10^(-3),
Print["mismatch..", {a, b, e, f, c, g, d, h}]; Break[]];
PrintTemporary[count];
];
Zacky
Claude Leibovici