Die Schaffung von minus Null erfordert 3 neue neutrale Zeichen?

Null ist normalerweise als weder positiv noch negativ bekannt, da sie genau in der Mitte des Zahlenstrahls liegt und dazwischen liegt − 1 Und + 1 .

In den meisten Programmiersprachen ist jedoch − 0 Und + 0 werden als zwei getrennte Zahlen interpretiert, die denselben logischen Wert haben, aber durch mathematische Operationen kombiniert zu unterschiedlichen Ergebnissen führen können. 1/-0Zum Beispiel in einer JS-Konsole, wenn Sie return eingeben, -Infinitywährend Sie 1/0return eingeben +Infinity.

Aber was wäre, wenn wir sagen würden, dass negative Null und positive Null nicht nur in der Computerprogrammierung, sondern auch in der allgemeinen Mathematik unterschiedliche Zahlen sind? Damit dies geschieht, müssen wir die reellen Zahlen stark modifizieren .

In diesem Fall müssten wir definieren − 0 als neue, unterschiedliche ganze Zahl, die dazwischen liegt − 1 Und + 0 Und + 0 wie dazwischen − 0 Und + 1 . In diesem Fall ist unsere alte, vorzeichenlose Null verschwunden. Beide − 0 Und + 0 haben diskrete arithmetische Regeln, aber jetzt gibt es ein neues Problem. Was soll zwischen den ganzen Zahlen stehen − 0 Und + 0 , vorausgesetzt, es gibt eine Entfernung von 1 zwischen ihnen?

Um dem entgegenzuwirken, schlug ich vor, dazwischen eine Art "neutrale Zone" einzurichten 0 Und − 0 . Ich dachte ursprünglich, Zahlen in diesem Bereich wären alle Brüche und hätten eine Art neutrales Vorzeichen, das weder positiv noch negativ ist. Zum Beispiel neutral 1 / 2 wäre genau in der Mitte von -0 und +0.

Aber bald darauf wurde mir klar, dass es bei einem solchen dritten Zeichen ein Problem mit der Richtung geben würde, da das dritte Zeichen weder in die positive noch in die negative Richtung gehen würde. Also habe ich dieses neutrale Zeichen in drei neue Zeichen aufgeteilt, ein positiv-neutrales Zeichen (mit der Bezeichnung ± ), die der positiven Richtung folgt, ein negativ-neutrales Vorzeichen (beschriftet ∓ ), die der negativen Richtung folgt, und dem Mittelpunkt N 0,5 , dh die zuvor erwähnte neutrale Hälfte.

Mit diesem System möchte die Zahlenreihe so:Zahlenreihe, die von -2 bis +2 reicht und neutrale Zahlen enthält

Nun stellt sich mir die Frage: Verursacht eine solche modifizierte Algebra mit reellen Zahlen irgendwelche Probleme in der Arithmetik oder hat sie einen praktischen Nutzen?

Antworten (2)

Die übliche Definition von 0 in der Mathematik ist, dass es die "additive Identität" für die reellen Zahlen ist. Dies bedeutet, dass es sich um eine Zahl handelt, die erfüllt

X + 0 = X
für alle X ∈ R .

Nun gibt es einen sehr einfachen Beweis dafür, dass es nur eine eindeutige Zahl namens 0 geben kann, wenn Sie 0 auf diese Weise definieren. Der Beweis erfolgt durch Widerspruch. Angenommen, Sie haben zwei Nullen und nennen Sie sie 0 1 Und 0 2 . Beide müssen die obige Definition erfüllen. Betrachten Sie nun die Menge 0 1 + 0 2 . Seit 0 2 ist also eine additive Identität 0 1 + 0 2 = 0 1 . Ebenso seit 0 1 ist eine additive Identität, 0 1 + 0 2 = 0 2 . Deshalb, 0 1 = 0 2 , die Null muss also doch eindeutig sein.

Das bedeutet, dass es unmöglich ist, ein System zu finden, das (1) logisch konsistent ist, (2) zwei verschiedene Nullen hat, (3) die anderen Axiome der reellen Zahlen erfüllt und (4) Null auf die übliche Weise definiert Weg, den ich oben beschrieben habe. Ich denke also, um mit dieser Frage fortzufahren, müssen Sie sich fragen, ob Sie eine andere Definition von Null wollen. Wenn nicht, müssen Sie sich fragen, welche der anderen Axiome der reellen Zahlen Sie bereit sind aufzugeben, und dann versuchen, daraus etwas Konsistentes aufzubauen.

Ich sollte anmerken, dass das Problem der "Eindeutigkeit von Null" bereits in Ihrem Beispiel offensichtlich ist. In Ihrer neuen Zahlenreihe müssen Sie bereits auf eines der folgenden verzichten: (1) − 0 + X = X , (2) + 0 + X = X , oder (3) die Interpretation, dass die Addition der Bewegung nach links/rechts auf der Zahlenlinie um einen bestimmten Betrag entspricht. Wenn Sie (1) oder (2) aufgeben, dann haben Sie neu definiert 0 . Wenn Sie (3) aufgeben, haben Sie die Addition im Wesentlichen neu definiert.
Ich stimme Ihnen zu, dass diese Nullen nicht eindeutig wären, wenn wir sagen, dass sie die additiven Identitäten der Realzahlen sind, aber sie sind nicht mehr die wirkliche additive Identität. Die neue additive Identität dieses modifizierten Satzes reeller Zahlen wird höchstwahrscheinlich sein N 1 / 2 . N 1 / 2 folgt weder der positiven noch der negativen Richtung, addiert sie also zu einer reellen Zahl X würde wahrscheinlich dazu führen X .
Klar, das ist in Ordnung. Sie gehen also den Weg, Annahme (4) am Ende meiner Antwort zu eliminieren. Was dann? Warum überhaupt den Begriff "0" zur Beschreibung verwenden + 0 Und − 0 ? Warum nicht einfach alles erhöhen und sie aufrufen + 1 Und − 1 ? Wie ist Addition definiert? Zum Beispiel was ist 3 + − 0 ? Wenn Sie hier ein in sich konsistentes System finden, das einem bestimmten Zweck dient, großartig. Aber ich vermute, dass es in diesem Fall entweder den gewöhnlichen reellen Zahlen entspricht oder so unähnlich gewöhnlichen reellen Zahlen ist, dass es für Sie keinen nützlichen Zweck erfüllen wird.
Hier ist eine andere Idee. Ein Teil Ihrer ursprünglichen Motivation war, etwas haben zu können 1 / + 0 = ∞ Und 1 / − 0 = − ∞ . Ich vermute, dass Sie Folgendes tun möchten, um dies zu erreichen. Beginnen Sie mit der Nichtstandardanalyse (im Grunde die reellen Zahlen plus ein strenges Konzept der Infinitesimalzahlen). Definieren + 0 ein positives Infinitesimal und sein − 0 ein negatives Infinitesimal sein. Dies sollte Ihnen die gewünschten Eigenschaften geben. An diesem Punkt bleibt die größte Frage, ob Sie die „gewöhnliche 0“ aus der Menge der Zahlen eliminieren können. ...
Dazu müssen Sie sich fragen, was die Antwort auf Fragen ist, die normalerweise 0 ergeben würden (wie z 2 − 2 ) Sind. Schau mal ob du das auch schaffst + 0 oder − 0 auf konsistente Weise, die auch den assoziativen, kommutativen, distributiven und anderen Eigenschaften reeller Zahlen gehorcht.
Mein Ziel war es nicht das zu machen 1 / + 0 unendlich und 1 / − 0 negativ unendlich, dies war nur ein Beispiel dafür, dass -0 in der Computerprogrammierung erwähnt wurde.

Ok, erstens würde Ihr System die Konzepte der Unendlichkeit verwüsten.

Was Sie tun, ist eine ganz neue (teilweise?) Zahlenlinie zwischen Ihren beiden "Nullen" zu erstellen, und das eröffnet eine neue Welt der Mathematik, aber wir müssten viel von unserer anderen Mathematik kratzen.

Wie würden Sie zum Beispiel das Teilen durch Null definieren? Wie groß ist der Abstand zwischen den beiden Nullen? Gibt es überhaupt noch eine Möglichkeit, das Konzept der alten Null auszuschreiben?

Außerdem würde Ihr System im realistischen Sinne nur ein paar Zahlen zum Zahlenstrahl hinzufügen. Es ist, als würde man -0 zu -1 und 0 zu 1 ändern. o wäre sozusagen immer noch +- 1/2.

Das bedeutet, dass es unmöglich ist, ein System zu finden, das (1) logisch konsistent ist, (2) zwei verschiedene Nullen hat, (3) die anderen Axiome der reellen Zahlen erfüllt und (4) Null auf die übliche Weise definiert Weg, den ich oben beschrieben habe. Ich denke also, um mit dieser Frage fortzufahren, müssen Sie sich fragen, ob Sie eine andere Definition von Null wollen. Wenn nicht, müssen Sie sich fragen, welche der anderen Axiome der reellen Zahlen Sie bereit sind aufzugeben, und dann versuchen, daraus etwas Konsistentes aufzubauen.

Die Schaffung von minus Null erfordert 3 neue neutrale Zeichen?
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