Dioden-Widerstand-Kondensator-Schaltungsgleichungen

Question

Dioden-Widerstand-Kondensator-Schaltungsgleichungen

Ben

Also habe ich mir die Zeit genommen, die Stromabhängigkeit von der Spannung einer Diode zu messen, die ich habe. Ich habe eine exponentielle Anpassung darauf angewendet und habe eine ziemlich zuverlässige Gleichung (innerhalb von 1%).

Ich interessiere mich dafür, wie eine Dioden-Widerstands-Kondensator-Reihenschaltung auf verschiedene Signale reagiert. Natürlich fange ich nur mit Gleichspannung an.

Die Gleichung, die ich für die Spannungs- / Stromabhängigkeit für die Diode habe, hat die Form

\begin{matrix} (1) & ICH = A e^{B v_{D}} \end{matrix}

$I=ae^{bV_D} \tag{1}$

Wo $V_D$ ist die Spannung an der Diode.

Unter Verwendung des Kirchhoffschen Gesetzes erhalte ich die folgende Differentialgleichung mit einer Anfangsbedingung:

v = R Q^{'} + \frac{1}{C} Q + \frac{1}{B} \ln (\frac{Q^{'}}{A})

$V = RQ' + \frac{1}c Q + \frac{1}b \ln\left(\frac{Q'}a\right)$

Q (0) = 0

$Q(0)=0$

Wo $R$ ist der Widerstandswert des Widerstands, $c$ ist die Kapazität des Kondensators, $a$ Und $b$ die Konstanten der exponentiellen Regression aus Gleichung (1) sind, und $V$ ist die angelegte Gleichspannung.

Weiß jemand, ob es möglich ist, diese Gleichung analytisch zu lösen?

Das Photon

Wenn Sie einen Kondensator mit irgendetwas in Reihe schalten, ist der Strom bei Gleichstrom 0.

Ben

Nach genug Zeit, ja das ist richtig. Aber zunächst nicht. Ich interessiere mich dafür, zu modellieren, was in dieser ersten Sekunde passiert. Vermutlich folgt der Strom einer Art exponentiellen Abfalls.

Das Photon

Wenn wir über die Analyse einer Schaltung bei DC sprechen, meinen wir normalerweise DC-Dauerzustand. Wenn Sie darüber sprechen möchten, was passiert, wenn sich die Eingangsspannung ändert, nennen wir das normalerweise eine Transientenanalyse.

Das Photon

AFAIK, es gibt keine analytische Lösung für diese Schaltung. Es gibt jedoch Dutzende von verschiedenen Computerprogrammen, die eine möglichst genaue numerische Lösung liefern können. LTSpice ist ein bekanntes kostenloses (wie in Bier) eins.

FGSUZ

Jeder nichtlineare Begriff ist normalerweise ein Schmerz im Nacken. Dioden werden deshalb normalerweise linearisiert.

Antworten (1)

Dioden-Widerstand-Kondensator-Schaltungsgleichungen

Wenn Sie einen Kondensator mit irgendetwas in Reihe schalten, ist der Strom bei Gleichstrom 0.
Nach genug Zeit, ja das ist richtig. Aber zunächst nicht. Ich interessiere mich dafür, zu modellieren, was in dieser ersten Sekunde passiert. Vermutlich folgt der Strom einer Art exponentiellen Abfalls.
Wenn wir über die Analyse einer Schaltung bei DC sprechen, meinen wir normalerweise DC-Dauerzustand. Wenn Sie darüber sprechen möchten, was passiert, wenn sich die Eingangsspannung ändert, nennen wir das normalerweise eine Transientenanalyse.
AFAIK, es gibt keine analytische Lösung für diese Schaltung. Es gibt jedoch Dutzende von verschiedenen Computerprogrammen, die eine möglichst genaue numerische Lösung liefern können. LTSpice ist ein bekanntes kostenloses (wie in Bier) eins.
Jeder nichtlineare Begriff ist normalerweise ein Schmerz im Nacken. Dioden werden deshalb normalerweise linearisiert.

Jan Eerland · Answer 1

Nun, das wissen wir:

\begin{matrix} (1) & v_{In} (T) = v_{D} (T) + v_{R} (T) + v_{C} (T) \end{matrix}

$\text{V}_\text{in}\left(t\right)=\text{V}_\text{D}\left(t\right)+\text{V}_\text{R}\left(t\right)+\text{V}_\text{C}\left(t\right)\tag1$

Und das wissen wir auch:

$\begin{matrix} (2) & {ICH}_{D} (T) = {ICH}_{S} \cdot (\exp (\frac{ϵ \cdot v_{D} (T)}{η \cdot k \cdot T}) - 1) \end{matrix}$ $\text{I}_\text{D}\left(t\right)=\text{I}_\text{S}\cdot\left(\exp\left(\frac{\epsilon\cdot\text{V}_\text{D}\left(t\right)}{\eta\cdot\text{k}\cdot\text{T}}\right)-1\right)\tag2$

Wo $\text{I}_\text{S}$ ist der umgekehrte Sättigungsstrom, $\epsilon$ ist die elektronische Ladung, $\text{k}$ ist die Boltzmann-Konstante und $\text{T}$ ist die absolute Temperatur und $1\le\eta\le2$ .

$\begin{matrix} (3) & v_{R} (T) = {ICH}_{R} (T) \cdot R \end{matrix}$ $\text{V}_\text{R}\left(t\right)=\text{I}_\text{R}\left(t\right)\cdot\text{R}\tag3$
$\begin{matrix} (4) & {ICH}_{C} (T) = v_{C}^{'} (T) \cdot C \end{matrix}$ $\text{I}_\text{C}\left(t\right)=\text{V}_\text{C}'\left(t\right)\cdot\text{C}\tag4$
$\begin{matrix} (5) & {ICH}_{In} (T) = {ICH}_{D} (T) = {ICH}_{R} (T) = {ICH}_{C} (T) \end{matrix}$ $\text{I}_\text{in}\left(t\right)=\text{I}_\text{D}\left(t\right)=\text{I}_\text{R}\left(t\right)=\text{I}_\text{C}\left(t\right)\tag5$

Wir erhalten also:

\begin{matrix} (6) & v_{In}^{'} (T) = \frac{η \cdot k \cdot T}{ϵ} \cdot \frac{{ICH}_{In}^{'} (T)}{{ICH}_{S} + {ICH}_{In} (T)} + {ICH}_{In}^{'} (T) \cdot R + {ICH}_{In} (T) \cdot \frac{1}{C} \end{matrix}

$\text{V}_\text{in}'\left(t\right)=\frac{\eta\cdot\text{k}\cdot\text{T}}{\epsilon}\cdot\frac{\text{I}_\text{in}'\left(t\right)}{\text{I}_\text{S}+\text{I}_\text{in}\left(t\right)}+\text{I}_\text{in}'\left(t\right)\cdot\text{R}+\text{I}_\text{in}\left(t\right)\cdot\frac{1}{\text{C}}\tag6$

Wenn die Eingangsspannung beispielsweise konstant ist, erhalten wir:

\frac{η \cdot k \cdot T}{ϵ} \cdot \frac{{ICH}_{In}^{'} (T)}{{ICH}_{S} + {ICH}_{In} (T)} + {ICH}_{In}^{'} (T) \cdot R + {ICH}_{In} (T) \cdot \frac{1}{C} = 0 ⟺

$\frac{\eta\cdot\text{k}\cdot\text{T}}{\epsilon}\cdot\frac{\text{I}_\text{in}'\left(t\right)}{\text{I}_\text{S}+\text{I}_\text{in}\left(t\right)}+\text{I}_\text{in}'\left(t\right)\cdot\text{R}+\text{I}_\text{in}\left(t\right)\cdot\frac{1}{\text{C}}=0\space\Longleftrightarrow$

\begin{matrix} (6) & \int {ICH}_{In}^{'} (T) \cdot \frac{\frac{η \cdot k \cdot T}{ϵ} \cdot \frac{1}{{ICH}_{S} + {ICH}_{In} (T)} + R}{{ICH}_{In} (T) \cdot \frac{1}{C}} D T = \int - 1 D T \end{matrix}

$\int\text{I}_\text{in}'\left(t\right)\cdot\frac{\frac{\eta\cdot\text{k}\cdot\text{T}}{\epsilon}\cdot\frac{1}{\text{I}_\text{S}+\text{I}_\text{in}\left(t\right)}+\text{R}}{\text{I}_\text{in}\left(t\right)\cdot\frac{1}{\text{C}}}\space\text{d}t=\int-1\space\text{d}t\tag6$

Ersatz $\text{u}:=\text{I}_\text{in}\left(t\right)$ :

\begin{matrix} (7) & \int \frac{\frac{η \cdot k \cdot T}{ϵ} \cdot \frac{1}{{ICH}_{S} + u} + R}{u \cdot \frac{1}{C}} D u = C \cdot {\frac{η \cdot k \cdot T}{ϵ} \int \frac{1}{{ICH}_{S} + u} \cdot \frac{1}{u} D u + R \int \frac{1}{u} D u} = C - T \end{matrix}

$\int\frac{\frac{\eta\cdot\text{k}\cdot\text{T}}{\epsilon}\cdot\frac{1}{\text{I}_\text{S}+\text{u}}+\text{R}}{\text{u}\cdot\frac{1}{\text{C}}}\space\text{d}\text{u}=\text{C}\cdot\left\{\frac{\eta\cdot\text{k}\cdot\text{T}}{\epsilon}\int\frac{1}{\text{I}_\text{S}+\text{u}}\cdot\frac{1}{\text{u}}\space\text{d}\text{u}+\text{R}\int\frac{1}{\text{u}}\space\text{d}\text{u}\right\}=\mathcal{C}-t\tag7$

Wir erhalten also:

\begin{matrix} (8) & C \cdot {\frac{η \cdot k \cdot T}{ϵ} \cdot \frac{1}{{ICH}_{S}} \cdot \ln | \frac{{ICH}_{In} (T)}{{ICH}_{In} (T) + {ICH}_{S}} | + R \cdot \ln | {ICH}_{In} (T) |} = C - T \end{matrix}

$\text{C}\cdot\left\{\frac{\eta\cdot\text{k}\cdot\text{T}}{\epsilon}\cdot\frac{1}{\text{I}_\text{S}}\cdot\ln\left|\frac{\text{I}_\text{in}\left(t\right)}{\text{I}_\text{in}\left(t\right)+\text{I}_\text{S}}\right|+\text{R}\cdot\ln\left|\text{I}_\text{in}\left(t\right)\right|\right\}=\mathcal{C}-t\tag8$

Jetzt können wir schreiben:

\begin{matrix} (9) & 0.02353823794935365 < \frac{η \cdot k \cdot T}{ϵ} < 0,05569380628470534 \end{matrix}

$0.02353823794935365<\frac{\eta\cdot\text{k}\cdot\text{T}}{\epsilon}<0.05569380628470534\tag9$

Wenn $0 ^\circ\text{C}=\frac{5463}{20}\space\text{K}\le\text{T}\le\frac{5463}{20}\space\text{K}=50 ^\circ\text{C}$

Dioden-Widerstand-Kondensator-Schaltungsgleichungen

Ben

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Jan Eerland

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