Drehen Sie einen Punkt auf einem Kreis mit bekanntem Radius und bekannter Position

Schauen wir uns ein einfacheres Problem an. Angenommen, Sie haben die in der folgenden Abbildung dargestellte Situation:

Dann wird der Winkel angegeben$\alpha$, die Koordinaten des Punktes$C''$Sind:

$$C''_x = r\cos\alpha \qquad\mbox{and}\qquad C''_y = r\sin\alpha$$

Wo$r$ist der Radius des Kreises.

Schauen wir uns nun ein etwas komplizierteres Problem an, das unten abgebildet ist:

Dies ist der obigen Situation sehr ähnlich. In der Tat,

$$C'_x = r\cos(\alpha+\beta) \qquad\mbox{and}\qquad C'_y = r\sin(\alpha+\beta)$$

Unter Verwendung der trigonometrischen Beziehungen$\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \sin\beta\cos\alpha$Und$\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$, können wir das obige wie folgt schreiben:

$$C'_x = r\cos\alpha\cos\beta - r\sin\alpha\sin\beta \qquad\mbox{and}\qquad C'_y = r\sin\alpha\cos\beta + r\sin\beta\cos\alpha$$

Aber warten Sie ... Indem Sie die vorherige Situation betrachten und ersetzen$C''$mit$B'$Und$\alpha$mit$\beta$, wir sehen das

$$B'_x = r\cos\beta \qquad\mbox{and}\qquad B'_y = r\sin\beta$$

Deshalb können wir schreiben

$$C'_x = B'_x\cos\alpha - B'_y\sin\alpha \qquad\mbox{and}\qquad C'_y = B'_x\sin\alpha + B'_y\cos\alpha$$

Aber was Sie wollen, ist stattdessen Folgendes:

Nun, wir können einfach alles starr um den Vektor verschieben$-\vec{OA}$so dass$A$ist jetzt der Ursprung des Koordinatensystems und wir erhalten die Situation gerade darüber. Dies läuft auf eine Subtraktion hinaus$A$von beiden$B$Und$C$zu bekommen$B'$Und$C'$in der oben, und wir finden

$$C_x - A_x = (B_x-A_x)\cos\alpha - (B_y-A_y)\sin\alpha$$ $$C_y - A_y = (B_x-A_x)\sin\alpha + (B_y-A_y)\cos\alpha$$

Dann endlich,

$$C_x = A_x + (B_x-A_x)\cos\alpha - (B_y-A_y)\sin\alpha$$ $$C_y = A_y + (B_x-A_x)\sin\alpha + (B_y-A_y)\cos\alpha$$

Dies wird als affine Transformation bezeichnet. Grundsätzlich besteht die Idee darin, unseren Kreis vorübergehend so zu verschieben, dass er um den Ursprung zentriert ist, eine Rotationsmatrix auf den Punkt anzuwenden, wie es in der linearen Algebra getan wird, und ihn dann zurück zu verschieben. Verwenden Sie die Notation, die Sie in Ihrem Problem haben, sowie das Hinzufügen

$$M=\left(\begin{array}{cc} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha)\\ \sin(\alpha) & \cos(\alpha)\\ \end{array}\right)$$ Zur Darstellung der Drehung gegen den Uhrzeigersinn durch einen Winkel $\alpha$(Wenn Sie es im Uhrzeigersinn haben möchten, wie es auf Ihrem Bild erscheint, tauschen Sie einfach die $-\sin(\alpha)$mit dem $\sin(\alpha)$), ist diese Transformation gegeben durch: $${C}=M(B-A)+A$$ Wo $A,B,C$sind die Vektoren, die ihre jeweiligen Punkte darstellen.