Drehimpulserhaltung in einem Raketen-Sonne-Mond-System

Question

Drehimpulserhaltung in einem Raketen-Sonne-Mond-System

Physiker23

Lassen Sie uns eine Rakete beschreiben, die von der Erde zum Mond und zurück fliegt. Ich möchte zeigen, dass der Drehimpuls der Rakete erhalten bleibt, um daraus schließen zu können, dass die Bewegung der Rakete auf eine zweidimensionale Ebene beschränkt ist. Nehmen wir an, die Erde befinde sich im Ursprung und der Mond befinde sich bei $\boldsymbol{r}_\mathrm{M} = d\boldsymbol{e}_1$ , Wo $d$ ist die Entfernung zwischen Erde und Mond.

Lassen $\Phi(\boldsymbol{r}) = -\gamma\left(\frac{m_\mathrm{E}}{|\boldsymbol{r}|}+\frac{m_\mathrm{M}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_\mathrm{M}|}\right)$ das Gravitationspotential sein. Die Gravitationskraft liest

F (R) = - γ M_{R} (\frac{M_{E}}{| R |^{3}} R + \frac{M_{M}}{| R - R_{M} |^{3}} (R - R_{M})) .

$\begin{equation} \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}) = -\gamma m_\mathrm{R}\left(\frac{m_\mathrm{E}}{|\boldsymbol{r}|^3}\boldsymbol{r}+\frac{m_\mathrm{M}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_\mathrm{M}|^3}(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_\mathrm{M})\right). \end{equation}$ Der Drehimpuls bezüglich des Ursprungs bleibt jedoch nicht erhalten

\dot{L} = R \times F = \frac{γ M_{R} M_{M}}{| R - R_{M} |^{3}} R \times R_{M} .

$\begin{equation} \dot{\boldsymbol{L}} = \boldsymbol{r}\times\boldsymbol{F} = \frac{\gamma m_\mathrm{R} m_\mathrm{M}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_\mathrm{M}|^3}\,\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{r}_\mathrm{M}. \end{equation}$ Ich habe auch überlegt, ein anderes Koordinatensystem (z. B. Schwerpunkt) zu wählen, aber das hat nicht funktioniert. Irgendwelche Ideen, wie man das zeigen kann? Vielen Dank im Voraus!

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Drehimpulserhaltung in einem Raketen-Sonne-Mond-System

Claudia Saspinsky · Answer 1

Der Drehimpuls bleibt erhalten, wenn die Kraft immer zum System COM zeigt, also radial ist, also $\mathbf r \times \mathbf F = 0$ .

Für das Erde-Mond-System ist dies nicht der Fall. Zum Beispiel: Kein Objekt in der Nähe des Mondes wird auf das System-COM fallen, oder ein Astronaut könnte nicht auf der Mondoberfläche laufen.

Prallax · Answer 2

Erhaltungssätze stammen oft aus Symmetrien des Hamiltonoperators. In diesem Fall bräuchte man zur Erhaltung des Drehimpulses einen rotationssymmetrischen Hamiltonoperator. Aber ein System aus zwei Punktmassen ist nicht rotationssymmetrisch und daher bleibt, wie Sie herausgefunden haben, der Drehimpuls der Rakete nicht erhalten.

Wenn die Anfangsposition und Geschwindigkeit der Rakete, des Mondes und der Erde auf derselben Ebene liegen, können Sie erwarten, dass die Bewegung auf diese Ebene beschränkt wird. Andernfalls ist die Trajektorie dreidimensional.

Der intuitive Beweis dieser Aussage ist, dass die Kraft immer in der Ebene liegt, die von gebildet wird $\vec{r}_M$ Und $\vec{r}(t)$ , daher wird die Rakete keine Kraft orthogonal zum Flugzeug spüren. Wenn die Geschwindigkeit auch auf dieser Ebene liegt, wird die Rakete die Ebene nicht verlassen und die Umlaufbahn ist eben.

Ein etwas strengerer Beweis:

Eine Umlaufbahn wird als planar bezeichnet, wenn sie vollständig in einer Ebene enthalten ist. Diese Aussage kann geschrieben werden als

\begin{matrix} (1) & \exists \vec{w} : (\vec{R} (T) - {\vec{R}}_{0}) \cdot \vec{w} = 0 \end{matrix}

$\exists \vec{w} : (\vec{r}(t)-\vec{r}_0)\cdot\vec{w} = 0 \tag 1$ Wo

{\vec{r}}_{0}

$\vec{r}_0$ ist die Ausgangsposition (at

t = 0

$t=0$ ) Und

\vec{w}

$\vec{w}$ ist der Vektor senkrecht zur Ebene der Umlaufbahn. Differenziert man die Gleichung, erhält man:

\begin{matrix} (2) & \dot{\vec{R}} (T) \cdot \vec{w} = 0 \end{matrix}

$\dot{\vec{r}}(t) \cdot \vec{w} = 0 \tag 2$

\begin{matrix} (3) & \ddot{\vec{R}} (T) \cdot \vec{w} = 0 \end{matrix}

$\ddot{\vec{r}}(t) \cdot \vec{w} = 0 \tag 3$

Das bedeutet, dass sowohl Geschwindigkeit als auch Beschleunigung während der gesamten Bewegung auf derselben Ebene liegen müssen.

Betrachten wir die von den Vektoren gebildete Ebene $\vec{F}(\vec{r}_0)$ Und $\vec{r}_M$ , und lass $\vec{w} = \vec{F}(\vec{r}_0) \times \vec{r}_M$ . Das ist für jeden Punkt leicht zu sehen $\vec{r}$ im Flugzeug, Gleichungen $(1)$ Und $(3)$ halten.

Wenn wir eine ebene Umlaufbahn wollen, ist es an dieser Stelle notwendig, die Anfangsgeschwindigkeit so zu wählen, dass $\vec{v}_0 \cdot \vec{w} = 0$ , und das sieht man schon nach kurzer Zeit

\vec{v} (δ T) \cdot \vec{w} = ({\vec{v}}_{0} + \dot{\vec{v}} δ T) \cdot \vec{w} = {\vec{v}}_{0} \cdot \vec{w} + (\vec{F} ({\vec{R}}_{0}) \cdot \vec{w}) δ T / M = 0

$\vec{v}(\delta t) \cdot \vec{w} = (\vec{v}_0 + \dot{\vec{v}}\delta t) \cdot \vec{w} = \vec{v}_0 \cdot \vec{w} + (\vec{F}(\vec{r}_0) \cdot \vec{w}) \delta t/m = 0$

Mit anderen Worten, solange sich die Rakete im Flugzeug befindet, bleibt ihre Geschwindigkeit auf ihr liegen.

Danke schön. Ich möchte genau beschreiben, was Sie im zweiten Absatz schreiben, aber ich habe es nicht geschafft, dies mathematisch zu zeigen. Haben sie eine Idee?
Ich weiß, der letzte Teil des Beweises, den ich hinzugefügt habe, ist nicht streng. Aber ich konnte keinen besseren Weg finden, es auszudrücken

RW Vogel · Answer 3

Der Drehimpuls des Systems; Erde, Mond und Rakete, können konserviert werden. Das kann der Drehimpuls der Rakete nicht. Die Rakete wird zwei Kräften ausgesetzt sein. Mindestens einer davon erzeugt ein Drehmoment um einen beliebigen gewählten Referenzpunkt.

Drehimpulserhaltung in einem Raketen-Sonne-Mond-System

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Claudia Saspinsky

Prallax

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Prallax

RW Vogel

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