Dummy-Variablen bei der Integration: Ist ∫x2dx=∫y2dy∫x2dx=∫y2dy\int x^2\,dx=\int y^2\,dy?

Es gibt zwei Aspekte, die überprüft werden müssen und die zur Klärung der Situation beitragen können.

• Der erste ist der Begriff Dummy-Variable und ihre Verwendung

• Die zweite befasst sich mit dem Begriff Substitution von Variablen

Im Folgenden werden einige Gedanken zu diesen beiden Aspekten gegeben.

Dummy-Variablen: Ein Synonym für eine Dummy-Variable ist gebundene Variable , wobei das Attribut gebunden einen bestimmten Gültigkeitsbereich der Variablen angibt. Zunächst betrachten wir ein Beispiel, das sich auf bestimmte Integrale bezieht.

Wir betrachten die reellwertige Funktion

$$\begin{align*} &f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\\ &f(x)=5x+\frac{1}{3} \end{align*}$$ Es gibt viele weitere Möglichkeiten, die Funktion zu schreiben$f$und zwei von ihnen sind $$\begin{align*} f(x)=5x+\frac{1}{3}&=5x+\int_{0}^1x^2\,dx\tag{1}\\ &=5x+\int_{0}^1y^2\,dy\tag{2} \end{align*}$$

• Wir beobachten, dass die rechte Seite von (1) zwei verschiedene Arten von Variablen hat und (durch einen leichten Schreibfehler) beide aufgerufen werden$x$. Die Integrationsvariable$x$In$\int_{0}^1x^2\,dx$ist eine Dummy-Variable, dh eine gebundene Variable mit Gültigkeitsbereich zwischen den Integralzeichen$\int$Und$dx$. Beachten Sie, dass der Name der Dummy-Variable nicht unbedingt erforderlich ist, da das Integral schließlich nur eine Zahl ist

  $$\begin{align*} \int_{0}^1x^2\,dx=\frac{1}{3} \end{align*}$$ und eine weitere vollkommen feine Darstellung von$\frac{1}{3}$Ist$\int_{0}^1y^2\,dy$in (2) wo$y$ist nur eine weitere Dummy-Variable. Wir können ohne Probleme schreiben $$\begin{align*} \int_{0}^1x^2\,dx=\int_{0}^1y^2\,dy \end{align*}$$ was nur gesagt ist$\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$.

• Eine ganz andere Art ist die Variable$\color{blue}{x}$In$f(\color{blue}{x})=5\color{blue}{x}+\int_{0}^1x^2\,dx$. Diesmal die blau markierte Variable$\color{blue}{x}$ist eine freie Variable und das Argument$x$In$f(x)$adressiert diese Variable und adressiert nicht die Integrationsvariable$x$in (1) ist der durch seinen beschränkten Geltungsbereich begrenzte und schlampig formulierte nicht sichtbar$f$.

Als nächstes betrachten wir eine weitere Funktion in Verbindung mit einem unbestimmten Integral

$$\begin{align*} &g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\\ &g(x)=5x+\frac{1}{3}x^3=5x+\int x^2\,dx\tag{3} \end{align*}$$

Hier nehmen wir als Integrationskonstante Null und haben eine Darstellung von$g(x)=5x+\frac{1}{3}x^3$über ein unbestimmtes Integral.

Aber es gibt einen signifikanten Unterschied zu (1), denn hier ist der Geltungsbereich der Integrationsvariable$x$ist nicht auf das Integral beschränkt. Wir sagen den Integranden$x$ist eine freie Variable und es ist dieselbe Variable$x$wie die anderen Vorkommen des Symbols$x$in (3).

Abschluss: $x$In$\int x^2\,dx$ist keine Dummy-Variable, sondern eine freie Variable.

Substitution: Die Aussage

$$\begin{align*} \int x^2 \,dx=\int y^2 \,dy \end{align*}$$ eine Identität ist, ist ohne Angabe zusätzlicher Informationen nicht korrekt, wie wir gleich sehen werden.

Was wir auf jeden Fall sagen können ist: Angesichts des unbestimmten Integrals

$$\begin{align*} \int x^2 \,dx=\frac{1}{3}x^3+C \end{align*}$$ mit$C$eine Integrationskonstante, durch die sie ersetzt werden kann $$\begin{align*} \int y^2 \,dy=\frac{1}{3}y^3+C \end{align*}$$ was darauf hinweist, dass der Name der freien Integrationsvariablen nicht relevant ist.

Aber wir sagen es nicht$\frac{1}{3}x^3=\frac{1}{3}y^3$ist eine Identität, da es eher eine Gleichung in zwei Variablen ist. Aus dem gleichen Grund sagen wir es nicht$\int x^2 \,dx=\int y^2 \,dy$.

Dies ändert sich aber wiederum, wenn wir im Rahmen einer Substitution zusätzliche Informationen hinzufügen, nämlich

• Ersetzen$x$von$y$wir haben:$\int x^2 \,dx=\int y^2 \,dy$.

• Nun haben wir nämlich ein System aus zwei Gleichungen, nämlich

  $$\begin{align*} x&=y\tag{4}\\ \int x^2 \,dx&=\int y^2 \,dy\tag{5} \end{align*}$$ und bei (4) kann die Gleichung (5) als Identität betrachtet werden.

Beispiele: Die folgenden Beispiele zum Ersetzen$x$mit$2x$In$f$Und$g$zeigen schön den Unterschied zwischen der Verwendung einer gebundenen Variablen und einer freien Variablen.

$$\begin{align*} &f(2x)=5(2x)+\frac{1}{3}=10x+\frac{1}{3}\\ &f(2x)=5(2x)+\int_{0}^1x^2\,dx=10x+\left.\frac{1}{3}x^3\right|_{0}^{1}=10x+\frac{1}{3}\tag{6} \end{align*}$$ Beachten Sie, dass in (6) der Integrand$x$wird nicht ersetzt durch$2x$seit der gebundenen Integrationsvariable$x$ist eine andere Art. Andererseits haben wir $$\begin{align*} &g(2x)=5(2x)+\frac{1}{3}(2x)^3=10x+\frac{8}{3}x^3\\ &g(2x)=5(2x)+\int (2x)^2\,d(2x)=10x+\int 4x^2\cdot 2\,dx=10+\frac{8}{3}x^3 \end{align*}$$

Sie haben recht damit, dass Sie das verstehen$x$ist eine Dummy-Variable.

$\int x^2\, dx$bedeutet die Menge der Funktionen$F(\cdot)$, so dass$F'(t) = t^2$

Wenn Sie ersetzen$x$mit$u$In der obigen Definition sehen Sie eine alternative Definition

"$\int u^2\, du$bedeutet die Menge der Funktionen$F(\cdot)$, so dass$F'(t) = t^2$"

Da die alternative Definition denselben Satz von Funktionen angibt$F(\cdot)$, sie sind gleichwertig. Das heißt,$\int x^2\,dx$Und$\int u^2 \,du$bezeichnen denselben Satz von Funktionen.

Insbesondere Vermietung$g_k : t \mapsto \frac{1}{3} t^3 + k$, sie bezeichnen die Menge der Funktionen$\{ g_k \}_{k \in \mathbb R}$.

In Bezug auf Ihre andere Frage lautet die Lösung, dass das Stewart-Buch mit der Notation schlampig war. Ich glaube, das ist der Teil, auf den Sie sich beziehen.

Der Schlüssel ist der Teil, der sagt

und so konnten wir formell, ohne unsere Berechnung zu rechtfertigen, schreiben

Das Lehrbuch verwendet "formale" Argumentation, was im Allgemeinen bedeutet, die "Form" oder das Muster, das die Symbole bilden, zu betrachten und diese Muster zu manipulieren, ohne zu versuchen, über die zugrunde liegende Bedeutung nachzudenken. Es gibt keine genauen Regeln, wenn Sie formale Argumente anwenden – Sie tun einfach, was sich richtig anfühlt.

Formale Argumentation eignet sich zur Generierung von Hypothesen, die später durch einen tatsächlichen Beweis verifiziert werden. Ein Beispiel für formale Argumentation ist die Rewrite-Regel$\frac{dy}{dx}dx \rightarrow dy$, wobei ein Symbol wie ein Bruch aussieht, also behandeln Sie es wie einen.

Im Beispiel aus dem Lehrbuch haben Sie$u = 1 + x^2$Und$du = 2x dx$. Da es sich richtig anfühlt, diese Symbole im integralen Ausdruck zu ersetzen, tun wir das. Und dann fühlt es sich richtig an, die Anti-Differenzierung als ob durchzuführen$u$war eine Variable usw. Die Gleichheitszeichen in [2] sind also nicht wörtlich zu nehmen, sondern sagen eher "Ich hoffe, das erweist sich als berechtigt."

Erstens integrieren Sie keine Variablen, sondern Funktionen , zweitens können Sie schreiben$f(x) = x+1$oder$f(some\_var) = some\_var + 1$Was zählt, ist, ob Sie die Funktion definiert haben$f$ausreichend, dasselbe gilt für Integrale und so weiter, eine Sache, die Sie im Hinterkopf behalten sollten, wenn Sie eine Art Variablentransformation für Gleichungsvereinfachungen durchführen, müssen Sie sicherstellen, dass Sie diese Transformation auf alle Vorkommen von substituierten Variablen anwenden, also zB wann Sie wollen Ersetzen Sie eine Art Ausdruck und Sie haben eine Ableitung dieses Ausdrucks. Sie müssen die Ableitung Ihrer Transformation berechnen und dann alle Vorkommen in Bezug auf Ihre Transformationen ersetzen