Eigene Flugzeit Schwarzschild-Metrik ist endlich

Ich weiß auch nicht so recht, wie das "einfach zu sehen" ist.
Sie können das Integral jedoch nach der richtigen Zeit lösen, indem Sie zuerst das für notieren$C^2=\text{const.}$wir haben (mit$r_s = 2GM$)

was aus dem Einstecken folgt$(4.2)$hinein$(4.1)$und Betrachten eines einfallenden Teilchens, das bei ruht$r = r_0$, Bedeutung$\dot{r}\vert_{r=r_0} = 0$.
Dies können Sie verwenden, um Ihre erste Gleichung zu schreiben als

Daraus ergibt sich das Eigenzeitintegral

die Sie mit Mathematica oder auch durch Einführung der Parametrisierung lösen können

mit$\eta \in [0,\pi]$.

Das Ergebnis, das ich erhalte, ist absurd und gibt eine komplexe Eigenzeit an.

Ihr Ergebnis enthält Ies, von dem ich annehme, dass es sich um die Notation von Mathematica handelt$i=\sqrt{-1}$, aber das bedeutet nicht, dass das Ergebnis komplex ist. Bei bestimmten Integrationstechniken ist es üblich, Ergebnisse zu erhalten, die komplex aussehen, sich aber tatsächlich als real erweisen, wenn man sie auswertet.

Sie machen Ihre Ergebnisse unnötig kompliziert, indem Sie nehmen$G$Und$M$als Parameter. Bei dieser Art von Integral gilt es, so viele Variablen wie möglich in einheitenlose Größen umzuwandeln, was im Allgemeinen dazu führt, dass unnötige Konstanten wie diese eliminiert werden. Hier wollen Sie auf die Variable wechseln$x=r/2GM$. Geben Sie es nicht einfach in das Computer Algebra System (CAS) ein, ohne diese Vorbereitungen zu treffen. CASs sind dumm und erzeugen komplizierte Ausgaben, geben Sie ihnen also eine Chance, indem Sie dasselbe Setup durchführen, das Sie normalerweise tun würden, wenn Sie ohne CAS arbeiten würden.

Ich verwende eher die Open-Source-CAS-Maxima als Mathematica. Es hat kein Problem, ein Ergebnis ohne explizite Ergebnisse zu erzeugen$i$ist drin.

$ maxima -q --batch-string="assume(h>0 and (c^2-1)<0 and c>0); integrate(-(c^2-(1-1/x))^(-1/2),x,1+h,1);"

(%i1) assume(h > 0 and c^2-1 < 0 and c > 0)
                                     2
(%o1)                       [h > 0, c  < 1, c > 0]
(%i2) integrate(-(c^2-(1-1/r))^((-1)/2),r,1+h,1)
                                   2                     2           2
                 2       sqrt(1 - c ) sqrt(h + 1) sqrt((c  - 1) h + c )
(%o2) (sqrt(1 - c ) atan(----------------------------------------------)
                                        2           2
                                      (c  - 1) h + c  - 1
     2                         2           2     4      2
 + (c  - 1) sqrt(h + 1) sqrt((c  - 1) h + c ))/(c  - 2 c  + 1)
                                 2
             2       c sqrt(1 - c )     3
   sqrt(1 - c ) atan(--------------) + c  - c
                          2
                         c  - 1
 - ------------------------------------------
                  4      2
                 c  - 2 c  + 1

Vielleicht möchten Sie versuchen, es in Mathematik auf die gleiche Weise einzurichten. Nach der Änderung der Variablen wird es sicherlich einfacher und leichter zu interpretieren sein.

Eigentlich gibt es keine Garantie dafür, dass dieses Ergebnis wirklich herauskommt, nur weil es keine gibt$i$ist drin. Es enthält eine Quadratwurzel, die aussieht, als könnte sie imaginär sein. Wir wissen, dass es reell sein sollte, weil es ein bestimmtes Integral eines reellen Integranden ist. Wenn Sie dann überprüfen möchten, ob es wirklich echt ist, versuchen Sie es einfach mit einigen Zufallszahlen$C$Und$h$. Wenn sich herausstellt, dass das Ergebnis echt ist, dann ist das kein Zufall. Wenn es komplex wird, kann eine der folgenden Aussagen zutreffen: (1) Sie haben es falsch codiert, (2) es gibt einen Fehler im CAS oder (3) es gibt ein Problem mit Zweigschnitten für die umgekehrte Tangente.