Eigenwerte des Produkts von 2 hermitischen Operatoren [geschlossen]

Question

Eigenwerte des Produkts von 2 hermitischen Operatoren [geschlossen]

Lebenslanger Lerner

Lassen $A$ Und $B$ seien zwei hermitesche Operatoren. Lassen $C$ ein anderer Operator sein, so dass $C = AB$ . Was können wir über Eigenwerte von sagen $C$ ? Werden sie real/imaginär/komplex sein? Was ich tat, war, nach Beispielen zu suchen. Das Folgende waren Beispiele (in Matrixdarstellung), nach denen ich gesucht habe: $A = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ Und $B = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ um eine hermitesche Matrix und damit reelle Eigenwerte zu erhalten.
Als nächstes habe ich versucht:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ Und $B = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ um eine antihermitische Matrix und damit imaginäre Eigenwerte zu erhalten.
Gibt es eine konkretere Möglichkeit, dies zu lösen? Können wir eine allgemeine komplexe Zahl als Eigenwerte für das Produkt der Hermiteschen Matrizen haben?

QMechaniker

Mögliches Duplikat von OP: physical.stackexchange.com/q/666144/2451

Quillo

Dieses Duplikat war mir nicht bekannt. Ich habe die allgemeine Lösung hier gepostet: physical.stackexchange.com/a/666155/226902

Michael Seifert

Beantwortet das deine Frage? Summe aus Kommutator und Antikommutator

Antworten (2)

Eigenwerte des Produkts von 2 hermitischen Operatoren [geschlossen]

Mögliches Duplikat von OP: physical.stackexchange.com/q/666144/2451
Dieses Duplikat war mir nicht bekannt. Ich habe die allgemeine Lösung hier gepostet: physical.stackexchange.com/a/666155/226902
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Josef h · Answer 1

Generell können wir das sagen $C=AB$ haben reelle, imaginäre und komplexe Eigenwerte (Komplex der Form $z=a+ib$ wo und $\{a,b\in \mathbb{R}\mid a,b \ne 0\}$ wie in den Kommentaren von Mark und Qmechanics Antwort gezeigt). Zum Beispiel, wenn

A = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] Und B = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}]

$A=\begin{bmatrix} 0 &1 \\ 1& 0 \end{bmatrix}\ \ \text{and}\ \ B=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0& -1 \end{bmatrix}$ Wo

A B = [\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]

$AB=\begin{bmatrix} 0 &-1 \\ 1& 0 \end{bmatrix}$ keine reellen, sondern imaginäre Eigenwerte haben .

Eines können wir jedoch sagen, wenn $A$ Und $B$ dann pendeln $C=AB$ immer reelle Eigenwerte haben, da die Eigenwerte aller hermiteschen Operatoren reell sind.

Also wenn

C = A B

$C=AB$ Dann

C^{†} = (A B)^{†} = B^{†} A^{†} = B A

$C^\dagger =(AB)^\dagger =B^\dagger A^\dagger =BA$ seit

A

$A$ Und

B

$B$ sind hermitesch und eindeutig

C^{†} = C

$C^\dagger =C$ Wenn

[A, B] = A B - B A = 0 \to A B = B A

$[A,B]=AB-BA=0\rightarrow AB=BA$ Das bedeutet, dass

C^{†} = C

$C^\dagger =C$ nur wenn

A

$A$ Und

B

$B$ pendeln in diesem Fall

C

$C$ haben reelle Eigenwerte.

Kann $C$ jemals Eigenwerte der Form haben $a + ib$ , Wo $a, b \in \mathbb{R}$ Und $a, b \neq 0$ ?
Sir, ich meinte, dass wir Eigenwerte der Form haben können $a + ib$ Wo $a,b \in \mathbb{R}$ Und $a, b \neq 0$
Ich möchte in der Antwort von @josephh hinzufügen, dass, wenn Anti-Kommutator von $A$ Und $B$ 0 ist, dann ist C antihermitesch und hat somit rein imaginäre Eigenwerte
@josephh Es stimmt nicht, dass die Eigenwerte entweder real oder imaginär sind. Die Matrix $AB$ hat im Allgemeinen sowohl hermitische als auch antihermitische Komponenten, sodass die Eigenwerte eine beliebige komplexe Zahl sein können. Betrachten Sie zum Beispiel $A = \sigma_z$ Und $B=\sigma_z + \sigma_x$ , Dann $AB = \mathbb{1} + i \sigma_y$ , Wo $\sigma_{x,y,z}$ sind Pauli-Matrizen. Die Eigenwerte von $AB$ Sind $1\pm i$ .
Ich stimme @MarkMitchison zu. Man kann zeigen, dass (allgemein) die Eigenwerte von $AB$ sind komplex und kommen in konjugierten Paaren vor (wie im Beispiel im Kommentar von Mark Mitchinson), siehe physical.stackexchange.com/a/666155/226902
LifelongLearner Beachten Sie, dass es Fälle gibt, in denen die Eigenwerte in der Form a+ib vorliegen können, wie Mark Mitchison oben anhand der Spinmatrizen gezeigt hat (Danke Mark). Das bedeutet, dass die Eigenwerte im allgemeinen Fall rein real oder rein imaginär und komplex sein können. Aber es ändert nichts an der Tatsache, dass das Produkt $AB$ wird reine reelle Eigenwerte haben, wenn $A$ Und $B$ pendeln.

QMechaniker · Answer 2

TL;DR: Davon ausgehend $A,B$ sind selbstadjungiert, das Produkt $AB$ muss nicht diagonalisierbar sein. Und wenn $AB$ diagonalisierbar ist, müssen die Eigenwerte weder reell noch imaginär sein.

Beispiel 1: $AB$ ist nicht diagonalisierbar:

A = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \land B = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \Rightarrow A B = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}) .

$A~=~\begin{pmatrix} 0 & 1 \cr 1 & 0 \end{pmatrix} \quad\wedge\quad B~=~\begin{pmatrix} 1 & 0 \cr 0 & 0 \end{pmatrix}\quad\Rightarrow\quad AB~=~\begin{pmatrix} 0 & 0 \cr 1 & 0 \end{pmatrix}.$

Beispiel 2: $AB$ hat komplexe Eigenwerte:

A = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \land B = (\begin{matrix} 0 & B \\ B^{*} & 0 \end{matrix}) \Rightarrow A B = (\begin{matrix} B^{*} & 0 \\ 0 & B \end{matrix}) .

$A~=~\begin{pmatrix} 0 & 1 \cr 1 & 0 \end{pmatrix}\quad\wedge\quad B~=~\begin{pmatrix} 0 & b \cr b^{\ast} & 0 \end{pmatrix}\quad\Rightarrow\quad AB~=~\begin{pmatrix} b^{\ast} & 0 \cr 0 & b \end{pmatrix}.$

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