Ich habe eine ganz einfache Frage zu numerischen Methoden in der Physik.
Ich möchte das Eigenwertproblem für ein Teilchen lösen, das sich in einem beliebigen Potential bewegt. Nehmen wir 1D, um konkret zu sein. Dh ich will finden befriedigend
Wie mache ich das jetzt genau? Naiv würde ich den folgenden Algorithmus implementieren:
1) Wählen Sie einige aus .
2) Ich möchte finden was normalisierbar ist. So konnte ich eine große auswählen , Satz Und und von dort unter Verwendung der Schrödinger-Gleichung numerisch integrieren.
3) Wenn ich auf eine Lösung stoße, die weit rechts vom Ursprung exponentiell klein ist, dann sage ich, dass die Lösung normalisierbar ist (da sie bei zerfällt ), und ich akzeptiere das Paar .
4) Ich erhöhe und ich wiederhole den Vorgang.
Dabei sollte ich das Spektrum um meinen Startwert herum erhalten .
Funktioniert dieser Algorithmus wirklich?? Es scheint mir auch eine sehr unkontrollierte Vorgehensweise zu sein; Ich habe keine Ahnung, wie genau das Spektrum sein wird. Zum Beispiel würde sich ändern Einen Unterschied machen?
Die Sache ist, ich weiß aus der Sturm-Liouville-Theorie, dass das Spektrum wird diskret sein (gegeben Befriedigung einiger netter Eigenschaften). Das Spektrum wird also ein Satz von Maß 0 unter der gesamten realen Linie sein lebt in. Dies bedeutet, dass ich mit ziemlicher Sicherheit (dh mit Wahrscheinlichkeit 1) niemals eine normalisierbare Lösung erhalten werde, und jede Lösung, die ich versuche, von meinem Ausgangspunkt aus numerisch zu integrieren, wird immer explodieren, wenn ich weit genug integriert habe das Recht.
Welchen Algorithmus verwenden die Leute also, um das Spektrum und die Eigenwerte numerisch zu erhalten? Wie kontrolliere ich auch die Genauigkeit des erzeugten Spektrums?
Was Sie vorschlagen, wird funktionieren, es ist im Wesentlichen das, was als Schießmethode zur Lösung des Eigenwertproblems bekannt ist. Beachten Sie, dass die Eigenfunktion bis zu einer multiplikativen Konstante definiert ist, sodass Sie sie einfach festlegen können =1 und es gibt nur einen Parameter zu variieren, um eine richtig zerfallende Lösung im Unendlichen zu erreichen. Die Aufnahmemethode ist einfach zu programmieren, hat aber nur sehr begrenzte Möglichkeiten.
Ein viel leistungsfähigerer Ansatz zur Behandlung dieser Art von Problemen besteht darin, alle Funktionen und Operatoren auf einem räumlichen Gitter zu diskretisieren { , ...}. Dann läuft das Problem auf ein Eigenwertproblem der linearen Algebra hinaus, für das es viele zuverlässige vorgefertigte Routinen gibt.
Es gibt eine Vielzahl von Methoden, um das Spektrum eines Hamiltonschen Systems in einer oder mehreren Dimensionen zu bestimmen. Für Systeme mit einer kleinen Anzahl von Freiheitsgraden kann ein direkter Matrixansatz verwendet werden, häufig unter Verwendung einer Variante der diskreten Sinc-Variablendarstellung des Hamilton -Operators .
Je nach Größe der Sinc-DVR-Matrix entweder direkt Diagonalisierungsverfahren (für kleine Matrizen unter ) oder iterative Krylov-Raum- oder Lanczos-Methoden (für sehr große Matrizen) verwendet werden, um die relevanten Teile des Eigenspektrums zu bestimmen.
Je nachdem, wie stark die quantenklassische Korrespondenz auf dem relevanten Abschnitt des Phasenraums auftritt, kann durch einen geeigneten Basiswechsel im DVR-Verfahren eine erhebliche Recheneinsparung erreicht werden, indem nur Basiszustände verwendet werden, die wahrscheinlich eine Rolle spielen Eigenzustände des Hamiltonoperators . Dies erfolgt unter Ausnutzung der ungefähren Entsprechung zwischen dem Bereich des klassischen Phasenraums, der von einem Zustand mit Energie besetzt wird und die Region des von Neumann-Gitterraums, die der Quantenzustand einnimmt, wie im folgenden Video dargestellt:
http://www.youtube.com/watch?v=zg-uDK5Iekk
Wie andere bereits erwähnt haben, kann Ihre Methode zum Laufen gebracht werden, obwohl ich nicht sicher bin, ob sie für diese Art von Berechnungen besonders häufig verwendet wird, da es effizientere Alternativen wie die oben angegebenen gibt.