Eigenzerlegung des kontinuierlichen Formalismus Hadamard Gate für eine beliebige Anzahl von Qubits

Ich habe ein Problem in meiner Simulation. Ich muss ein Hadamard-Gatter simulieren, indem ich die Schrödinger-Gleichung (Zeitentwicklung) integriere.

Dazu muss ich einen Hamilton-Operator in Bezug auf das Hadamard-Gatter konstruieren und eine Zeitentwicklung durchführen, also würde ich auch Eigenwerte benötigen.

Mein Problem ist, dass alle Ressourcen, die ich zu Quantengattern finden kann, im einheitlichen Formalismus (diskrete Zeit) sind. Ich schaffe es nicht, nützliche Ressourcen für kontinuierliche Zeitfälle zu finden, insbesondere mit Eigenwerten.

Aus Quantum Computation and Quantum Informationvon Nielsen und Chuang Seite 83

Es besteht daher eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen der zeitdiskreten Beschreibung der Dynamik unter Verwendung einheitlicher Operatoren und der kontinuierlichen Zeitbeschreibung unter Verwendung von Hamiltonoperatoren

Ich weiß nur nicht, wie ich Hamiltonian im Zusammenhang mit Hadamard Gate finden soll.

Ich habe einige Beispiele gefunden, wie das Papier A Sequence of Quantum Gates Seite 5, aber es skaliert nicht für mehr als ein einzelnes Qubit und erwähnt keine Eigenzerlegung, die für eine effiziente Zeitentwicklung erforderlich ist, da H leicht zu einer riesigen Matrix wird und es ist schwer zu potenzieren.

Antworten (1)

Um einen Hamilton-Operator zu erhalten, der eine Einheitsmatrix (mal i) erzeugt, nehmen Sie den Logarithmus der Einheitsmatrix.

e − ich H = U
− ich H = ln ⁡ U
H = ich ln ⁡ U

Sie können Tools wie Matlab oder Scipy verwenden, um Matrixlogarithmen zu berechnen, oder dies manuell über die Eigenzerlegung tun. Zum Beispiel:

>>> import scipy.linalg
>>> scipy.linalg.logm([[1, 1], [1, -1]]).round(1)
array([[ 0.3+0.5j,  0.0-1.1j],
       [ 0.0-1.1j,  0.3+2.7j]])
Es wäre wert, dieser Antwort Folgendes hinzuzufügen: Let H = ich ln ⁡ U . Dann wenn λ ist ein Eigenwert von U , Dann ich ln ⁡ λ ist ein Eigenwert von H . (Wo ln ist natürlich nur der übliche komplexe Logarithmus.) Außerdem der entsprechende Eigenvektor von H ist derselbe wie der entsprechende Eigenvektor von U . Wenn Sie also die Eigenwerte im unitären Formalismus haben, haben Sie sie automatisch auch im Hamiltonschen.
Vielen Dank für die Antwort, aber ich hatte mehr auf ein paar Tipps gehofft, wie man es analytisch macht, zum Beispiel einige Symmetrien auszunutzen und Muster innerhalb der Matrix zu wiederholen, damit es für beliebige Größen funktioniert und große Matrizen nicht numerisch diagonalisiert.
Eigenzerlegung des kontinuierlichen Formalismus Hadamard Gate für eine beliebige Anzahl von Qubits
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