Ein Beweis, dass Zweierpotenzen nicht als Summe mehrerer aufeinanderfolgender positiver Ganzzahlen ausgedrückt werden können, die binäre Darstellungen verwenden?

Nun, die Summe von$k>1$aufeinanderfolgende positive ganze Zahlen, beginnend bei$n$Ist$\frac{(n+k)^2+n+k}{2}-\frac{n^2+n}{2}=\frac{2kn+k^2+k}{2} = \frac{k}{2}(2n+k+1)$. Wenn wir wollen$2^m$Wir müssen haben$2^{m+1}=k(2n+k+1)$So$k=2^j$für einige$j\in\mathbb{N}$. Aber dann$2^m = 2^jn+2^{2j-1}+2^{j-1}$. Wenn wir dies als binäre Erweiterung schreiben, die letzte$j$Ziffern von$2^j$muss sein$0$, das Letzte$2j-1\geq j$Ziffern von$2^jn$muss sein$0$, während$2^{j-1}$hat ein$1$im letzten$j-1$Ziffern, also hat die Summe a$1$im letzten$j-1$Ziffern. Seit$2^m$muss mindestens$2^{2j-1}\geq2^j$, so kann das nicht sein$2^m$kann nicht als Summe von geschrieben werden$k>1$aufeinanderfolgende positive ganze Zahlen.

Lemma : Die Summe von$k\geq 1$aufeinanderfolgende positive ganze Zahlen ist teilbar durch$2^j$(endet in$j$Nullen in binär) nur wenn entweder$k$ist teilbar durch$2^{j+1}$oder die ersten und letzten Elemente der aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen sind teilbar durch$2^{j+1}$.

Beweis : Induktion an$j$. Für$j=0$, das bedeutet, dass gegeben$k$aufeinanderfolgende ganze Zahlen, entweder$k$gerade ist oder die Summe des ersten und letzten Glieds in der Folge gerade ist. Im Grunde bedeutet dies, dass bei einer ungeraden Anzahl aufeinanderfolgender Binärzahlen die letzte Binärziffer der ersten und letzten Zahl in der Folge gleich sein muss. Ich hoffe, das ist offensichtlich.

Angenommen wahr für$j$. Wenn jetzt$k$Aufeinanderfolgende ganze Zahlen ergeben ein Vielfaches von$2^{j+1}$, dann addieren sie sich zu einem Vielfachen von$2^j$, also entweder$k$ist teilbar durch$2^{j+1}$oder das erste und letzte Element der Folge ergeben zusammen ein Vielfaches von$2^{j+1}$.

Wenn$k$ist teilbar durch$2^{j+1}$, dann für jeden bestimmten Satz von möglichen$j+1$Ziffern, es gibt$\frac k{2^{j+1}}$Zahlen in der Folge, die auf diese enden$j+1$Ziffern. Aber wir können die meisten dieser Äquivalenzklassen paaren, indem wir die Klasse, die auf endet, paaren$d\pmod {2^{j+1}}$wobei die Klasse auf endet$2^{j+1}-d \pmod {2^{j+1}}$und somit bleiben Ihnen die Zahlen, die auf enden$j$oder$j+1$Nullen. Die, die auf enden$j+1$Nullen wirken sich nicht auf den letzten aus$j+1$Ziffern, also endet die Summe der Zahlen auf$j+1$Nullen genau dann, wenn die Summe der$\frac{k}{2^{j+1}}$Zahlen, die Bestand haben$j+1$Ziffern$10000...0$addieren sich zu einem Vielfachen von$2^{j+1}$, was nur möglich ist, wenn es eine gerade Anzahl von ihnen gibt. So$\frac{k}{2^{j+1}}$muss eben sein, also$k$ist teilbar durch$2^{j+2}$

Andererseits, wenn sich die erste und die letzte Zahl zu einem Vielfachen von addieren$2^{j+1}$Dann$k$muss ungerade sein, und wir können alle Elemente mit ihrer entgegengesetzten Zahl in der Folge paaren, mit Ausnahme der mittleren Zahl in der Folge. Aber diese mittlere Zahl ist immer die Hälfte der Summe aus der ersten und der letzten Zahl, sodass die gesamte Summe auf endet$j+1$Nullen, der Durchschnitt der ersten und letzten muss auf enden$j+1$Nullen, also muss die Summe des ersten und letzten auf enden$j+2$Nullen.

Mit diesem Lemma kannst du deinen Satz leicht beweisen, denn$k>1$Aufeinanderfolgende positive ganze Zahlen können nicht addiert werden$2^j$weil sich sonst entweder der erste und der letzte zu einem Vielfachen von addieren$2^{j+1}$also muss der größte größer sein als$2^j$, oder$k$ist teilbar als$2^{j+1}$was die Summe weit größer machen würde als$2^{j+1}$.

Geändert von dieser Antwort auf eine angeblich äquivalente Frage.

Keine Macht von$2$kann als Summe von mehr als einer aufeinanderfolgenden positiven ganzen Zahl geschrieben werden.

Beachten Sie, dass die Summe von ist$n-m+1$ganze Zahlen, deren Durchschnitt ist$\frac12(n+m)$,

Vermuten$2^j$kann als Summe in geschrieben werden$(1)$. dann haben wir

Wenn$n-m+1=1$, dann gibt es nur einen Begriff in$(1)$.

Wenn alle Begriffe in$(2)$sind dann positiv$m,n\ge1$. Daher,$n+m\ge2$.

Also können wir beides nicht haben$n-m+1=1$noch$m+n=1$. Deshalb,$2^j$kann nicht als Summe von mehr als einer aufeinanderfolgenden positiven ganzen Zahl geschrieben werden.