Eine Frage zu pythagoräischen Tripeln

Question

Eine Frage zu pythagoräischen Tripeln

Mathematik
Zahlentheorie
pythagoräische Tripel

Julian Jeffko

Kürzlich wurde mir ein Problem gegeben, bei dem es darum ging, zwei Sätze von Punkten auf dem Diagramm zu finden $y = x^2$ die einen rationalen Abstand voneinander haben. Dann wurde mir gesagt, wenn ich keine finden könnte, solle ich versuchen zu beweisen, dass es keine gibt, und wenn ich könnte, eine allgemeine Lösung finden.

Um das Problem zu lösen, habe ich mit der Entfernungsformel begonnen und sie gleich gesetzt $p\over q$ , da die Lösungen rational sein müssen:

$\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = {p\over q}$

Ich bemerkte, dass jeder Punkt auf dem Diagramm in der Form sein würde $(x,x^2),$ Also habe ich die Abstandsformel geändert und auch beide Seiten quadriert.

$(x^2 - x)^2 + (y^2 - y)^2 = ({p\over q})^2$

Ich habe dann die Begriffe auf der linken Seite neu angeordnet

$(x^2 - x)^2 = (x(x - 1))^2$

$(x(x-1))^2 + (y(y -1))^2 = ({p\over q})^2$

Da dies wie der Satz des Pythagoras aussieht, habe ich mich darauf konzentriert, Lösungen mit natürlichen Zahlen zu finden, die pythagoreische Tripel wären, die diese Gleichung erfüllen. Ich dachte, alle Zahlen im Tripel müssen gerade sein, und die auf der linken Seite müssen in der Form berücksichtigt werden können $x \times (x-1)$ . Ich habe mir Listen von Tripeln angesehen, kann aber keine finden, die diese beiden Eigenschaften erfüllt. Auch wenn ich eine Liste von Zahlen erstelle, die in dieses Formular eingerechnet werden können, $12, 20, 30, 42$ , usw. Ich kann keine dieser Zahlen in einem Tripel finden.

Ich stecke hier fest. Ich habe keine Möglichkeit zu beweisen, ob eine Lösung dieser Art existiert oder nicht existiert. Wie würde ich vorgehen, und wenn es einen gibt, wie würde ich ihn finden?

individuell

artofproblemsolving.com/community/…

P Vanchinathan

Wenn der erste Punkt ist

(x, x^{2})

$(x, x^2)$ und der zweite ist

(y, y^{2})

$(y, y^2)$ das wäre der quadrierte Abstand zwischen ihnen

(x - y)^{2} + (x^{2} - y^{2})^{2}

$(x-y)^2 + (x^2-y^2)^2$ und nicht die, die du geschrieben hast.

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Eine Frage zu pythagoräischen Tripeln

Wenn der erste Punkt ist $(x, x^2)$ und der zweite ist $(y, y^2)$ das wäre der quadrierte Abstand zwischen ihnen $(x-y)^2 + (x^2-y^2)^2$ und nicht die, die du geschrieben hast.

jorik · Answer 1

Wie P Vanchinathan in einem Kommentar feststellte, haben Sie die Koordinaten der Punkte verwechselt. Ab wieder ab

\sqrt{(X_{2} - X_{1})^{2} + (j_{2} - j_{1})^{2}} = \frac{P}{Q}

$\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = {p\over q}$

und jetzt mit der richtigen Beziehung $y_i=x_i^2$ , wir bekommen

\sqrt{(X_{2} - X_{1})^{2} + (X_{2}^{2} - X_{1}^{2})^{2}} = \frac{P}{Q}, (X_{2} - X_{1})^{2} (1 + (X_{2} + X_{1})^{2}) = \frac{P^{2}}{Q^{2}} .

$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(x_2^2-x_1^2)^2}=\frac pq\;,\\ (x_2-x_1)^2\left(1+(x_2+x_1)^2\right)=\frac{p^2}{q^2}\;.$

Wenn $x_1$ Und $x_2$ sind rational, der Faktor $(x_2-x_1)^2$ ein Quadrat einer rationalen Zahl ist, also müssen wir nur sicherstellen

1 + (X_{2} + X_{1})^{2} = \frac{P^{' 2}}{Q^{' 2}}

$1+(x_2+x_1)^2=\frac{p'^2}{q'^2}$

mit $x_1$ Und $x_2$ rational. Einstellung $x_i=p_i/q'$ , wir bekommen

Q^{' 2} + (P_{2} + P_{1})^{2} = P^{' 2} .

$q'^2+(p_2+p_1)^2=p'^2\;.$

Daher können wir jedes pythagoreische Tripel nehmen und eines der Beine als verwenden $q'$ und teilen Sie das andere Bein dazwischen $p_1$ Und $p_2$ in irgendeiner Weise. Zum Beispiel aus dem Tripel $(3,4,5)$ wir können bekommen $q'=3$ , $p_1=1$ , $p_2=3$ , korrespondierend zu $x_1=\frac13$ Und $x_2=1$ , oder $q'=4$ , $p_1=1$ , $p_2=2$ , korrespondierend zu $x_1=\frac14$ Und $x_2=\frac12$ .

Ahmed S. Attaalla · Answer 2

Trotz Ihres bereits erwähnten Fehlers glaube ich nicht, dass Ihr Fragesteller beabsichtigt hat, dass Sie diesen Weg gehen. Wenn ich das richtig verstehe, wollte Ihr Fragesteller nicht unbedingt, dass Sie alle Punkte finden. $f(x)=x^2$ ist nicht eins zu eins, tatsächlich ist es eine gerade Funktion, also:

F (X) = F (- X)

$f(x)=f(-x)$

Es wäre also viel einfacher, wenn Sie versuchen, eine rationale Distanz zu finden $(x,f(x))$ Zu $(-x,f(x))$ .

In diesem Fall haben Sie:

\sqrt{(X - (- X))^{2} + (F (X) - F (- X))^{2}} = \frac{P}{Q}

$\sqrt{(x-(-x))^2+(f(x)-f(-x))^2}=\frac{p}{q}$

Aber weil $f(x)=x^2=f(-x)=(-x)^2=(-1)^2x^2$ wir haben:

\sqrt{(X - (- X))^{2} + 0} = \frac{P}{Q}

$\sqrt{(x-(-x))^2+0}=\frac{p}{q}$

| 2 X | = \frac{P}{Q}

$|2x|=\frac{p}{q}$

2 | X | = \frac{P}{Q}

$2|x|=\frac{p}{q}$

Das Ergebnis sollte einfach zu sehen sein, weil $(-x,f(-x))$ Und $(x,f(x))$ liegen in einer geraden Linie. Jetzt brauchen wir nur noch zweimal $|x|$ rational zu sein, und weil die rationalen Zahlen unter der Multiplikation geschlossen sind, brauchen wir nur noch $|x|$ vernünftig sein.

Also, wenn Sie wählen $x \in \mathbb{Q}$ und damit $-x \in \mathbb{Q}$ Sie erhalten Lösungen für Ihr Problem.

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Julian Jeffko

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P Vanchinathan

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jorik

Ahmed S. Attaalla

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